Одоог хүртэл зайны тухай ярихдаа бид үргэлж Евклидийн зайг хэлдэг байсан. Тиймээс бид векторуудын хоорондох зайг векторын уртаар тодорхойлсон, тухайлбал:
Гэхдээ уртын янз бүрийн хэмжигдэхүүнийг ашиглан зайг өөр аргаар тооцоолж болно. Жишээлбэл, хоёр талын гудамжны тэгш өнцөгт сүлжээ хэлбэрээр хотын хялбаршуулсан газрын зургийг авч үзье. Дараа нь уртын хангалттай хэмжүүр нь нэг уулзвараас нөгөө уулзварт хүрэхийн тулд туулах ёстой хамгийн богино зай байж болно. Заримдаа энэ зайг Манхэттэн гэж нэрлэдэг.
Ихэнх нь бидэнд шаардлагагүй уртын бүх боломжит хэмжигдэхүүнүүдийг жагсаахын оронд бид дурын уртын хэмжүүрийн хангах ёстой шаардлагыг (аксиомууд) авч үзэх болно. Зайны тухай дараагийн бүх теоремуудыг эдгээр аксиомуудын хүрээнд, өөрөөр хэлбэл хамгийн ерөнхий хэлбэрээр батлах болно. Математикийн хувьд "уртын хэмжүүр" гэсэн хэллэгийн оронд хэмжүүр гэсэн нэр томъёог ашигладаг заншилтай байдаг.
Хэмжигдэхүүн.
X олонлог дээрх хэмжүүр нь x үржвэрт тодорхойлогдсон бодит функц d(x, y) бөгөөд дараах аксиомуудыг хангадаг.
б) агуулна
г) бүгдэд (гурвалжны тэгш бус байдал).
Метрийн орон зай нь (a), (b) ба (c) аксиомуудыг хангаж буйн нотолгоо нь хос юм. Гурвалжингийн тэгш бус байдал:
Бид үүнийг 3.1 (Теорем 3.1.2) хэсэгт нотолсон. Тиймээс Евклидийн зай нь хэмжигдэхүүн бөгөөд бид үүнийг цаашид Евклидийн хэмжүүр гэж нэрлэх болно.
Сансар огторгуй дахь хэмжүүрүүдийн нэг чухал анги болох -метрийн ангиллыг авч үзье. -метр нь Евклидийн хэмжүүрийн ерөнхий дүгнэлт бөгөөд үүнтэй давхцдаг. p-метрийн хувьд дараах байдлаар тодорхойлогддог.
Бид дараах баримтыг нотлох баримтгүйгээр үлдээх болно.
-метр нь үнэхээр хэмжигдэхүүн гэдгийг батлах баталгаа, i.e. бидний орхигдуулсан аксиомуудыг хангадаг. Энэ асуултыг хэсэгчлэн дасгалд оруулсан болно.
Метрийн тодорхойлолтод бид x ба y элементүүдийг орон зайд хамааруулах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь бидэнд X олонлог болон түүний x, y гэх мэт элементүүдийг олон янзаар тодорхойлох боломжийг олгодог. Бидний даалгавар бол фрактал бүтэц ямар нөхцөлд нэгдэж байгааг харуулах явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд та авсаархан багц хоорондын зайг хэмжих чадвартай байх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл тохирох хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох хэрэгтэй.
Метрийн орон зай дахь олонлогын онолыг.
Бид том алхам хийж, Евклидийн хэмжүүрийг агуулсан 3.1-р хэсгийн олонлогийн онолын тодорхойлолтыг дурын хэмжигдэхүүн болгон өргөжүүлэх ёстой. Метрийн орон зайд (X, d) нээлттэй бөмбөгийг дараах байдлаар тодорхойлно.
(3.4)-ийг харгалзан бид дараах ойлголтуудын дээрх тодорхойлолтыг өөрчлөхгүйгээр үлдээж болно.
Жишээлбэл, хэрэв хэн нэгэн нь нээлттэй бөмбөгийг (тодорхойлолтын утгаараа (3.4)) зааж өгсөн тохиолдолд олонлог нь нээлттэй багц юм. Энэ нь E-д агуулагдах болно. Жагсаалтад өөрчлөлт ороогүй бүх тодорхойлолтыг оруулсан болно. авсаархан байдлын тухай ойлголт. Дурын хэмжүүрийн орон зай дахь авсаархан багцын хатуу тодорхойлолтыг хавсралтад өгсөн болно. Бид орон зайн дэд бүлгүүдийн нягтралыг голчлон сонирхож байгаа тул дээр өгөгдсөн тодорхойлолт (хаалт ба хязгаарлагдмал байдал) хүчинтэй хэвээр байна.
Хэрэв X олонлог дээрх хэмжигдэхүүн бөгөөд нэгээс нэг бодит функц байвал
X дээр бас хэмжүүр байдаг. (a) ба (c) аксиомууд нь мэдээж хангагдсан. аксиом (b)-ыг хангана, учир нь энэ нь нэгийг харьцах функц юм. (d) аксиомыг тэгш бус байдлаар бичнэ.
өөрөөр хэлбэл бодит тоонуудын сонгодог гурвалжны тэгш бус байдал. Ийм байдлаар тодорхойлсон хэмжүүрийн жишээ:
X олонлог дээр тодорхойлсон хоёр хэмжигдэхүүнийг дараахь зүйлийг зааж өгөх боломжтой бол тэнцүү хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.
Орон зайд байгаа дурын хоёр хэмжигдэхүүн тэнцүү байгааг харуулж болно (энэ хэсгийн төгсгөлд байгаа 3-р дасгалд тохиолдлыг үзүүлэв). Нөгөө талаас, R багц дээрх хэмжүүрүүд нь тэнцүү биш байна (энэ хэсгийн төгсгөлд 4-р дасгал).
Фракталын онолын хувьд хэмжигдэхүүнүүдийн эквивалент байдлын гол үр дагавар нь хэмжигдэхүүнийг эквивалентаар солих үед фрактал хэмжигдэхүүн (5-р бүлэг) хадгалагдаж байгаа явдал юм. Түүнээс гадна хэрэв олонлог нь нэг хэмжигдэхүүнээр нээлттэй (хаалттай) байвал ижил төстэй хэмжигдэхүүнээр нээлттэй (хаалттай) байна. Цаашилбал, хэрэв олонлог нэг хэмжигдэхүүнээр хязгаарлагддаг бол энэ нь ямар ч эквивалент хэмжигдэхүүнээр хязгаарлагдана. Төгс, холбогдсон, бүрэн тасалдсан багцуудад мөн адил хамаарна.
Конвергенц.
X олонлог дээрх хэмжигдэхүүн байг. X хэмжигдэхүүний орон зайн цэгүүдийн дараалал нь тоонуудын дараалал ердийн утгаараа тэг рүү нийлдэг бол d хэмжигдэхүүн дэх хязгаарт нийлнэ, өөрөөр хэлбэл:
Энд хэмжүүрүүдийн эквивалентыг дараах байдлаар илэрхийлнэ. Хэрэв хэмжигдэхүүнүүд тэнцүү бол -метрт, хэрэв зөвхөн -метрт байгаа бол, учир нь:
Хэрэв тийм бол эсрэгээрээ.
Тасралтгүй байдал.
Тооцооллын курст X дээр тодорхойлогдсон функцийг if цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг.
Метрийн орон зай.
Метрийн орон зайаль ч хос элементийн хоорондох зайг тодорхойлсон олонлог юм.
Метрийн орон зай нь хос, хаана нь олонлог ( сэдвийн багцметрийн орон зай, багц оноохэмжигдэхүүн) ба тоон функц ( хэмжүүророн зай) нь декартын үржвэр дээр тодорхойлогддог бөгөөд бодит тооны багц дахь утгыг авдаг - цэгүүдийн хувьд
Жич:Аксиомууд нь зайны функц нь сөрөг биш гэдгийг харуулж байна
Шахсан дэлгэцүүд.
Шахсан дэлгэцүүдонолын гол заалтуудын нэг метрийн орон зайОлонлогийн тогтсон цэгийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын тухай, түүнийг ямар нэгэн тусгай ("шахах") зураглалд оруулав. С. о. p нь дифференциал ба интеграл тэгшитгэлийн онолд голчлон хэрэглэгддэг.
Захиалгат дэлгэц Аметрийн орон зай Мбүх цэгт нь өөртөө X-аас Мямар нэг цэгт таарч байна y = сүх-аас М, орон зайд үүсгэдэг Мтэгшитгэл
Сүх = x. (*)
Үйлдлийг харуулах Ацэг тутамд Xцэг рүү шилжүүлсэн гэж ойлгож болно y = сүх. Цэг Xзураглалын тогтмол цэг гэж нэрлэдэг А, хэрэв тэгш байдал (*) үнэн бол. Тэр. (*) тэгшитгэлийн шийдвэрлэх чадварын асуудал нь зураглалын тогтмол цэгүүдийг олох асуудал юм А.
Дэлгэц Аметрийн орон зай Мэерэг тоо байвал өөртөө шахагдсан гэж нэрлэдэг< 1, что для любых точек XТэгээд цагт-аас Мтэгш бус байдал бий
d ( Сүх, Ай) £ a г(x, y),
тэмдэг хаана байна г(чи, u) цэг хоорондын зай гэсэн үг уба метрийн орон зайн u М.
С. о. П., хэмжүүрийн бүрэн орон зайн шахагдсан зураглал бүр нь зөвхөн нэг тогтмол цэгтэй байдаг гэж үздэг. Түүнээс гадна, ямар ч эхлэлийн цэгийн хувьд x 0-аас Мдэд дараалал ( x n), давтагдах харилцаагаар тодорхойлогддог
x n = Ax n-1 , n = 1,2,...,
хязгаар нь тогтмол цэгтэй Xхаруулах А. Энэ тохиолдолд дараах алдааны тооцоо хүчинтэй байна.
.
С. о. p. Энэ нь дифференциал, интеграл болон бусад тэгшитгэлийн шийдлүүдийн оршин тогтнох, өвөрмөц байдлын талаархи чухал теоремуудыг нэгдсэн аргыг ашиглан нотлох боломжийг олгодог. S. o-г хэрэглэх нөхцлийн дагуу. уусмалыг урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно дараалсан ойртсон арга.
Бүрэн метрийн орон зайг тодорхой сонгох замаар Мболон зураглал АЭдгээр асуудлыг эхлээд тэгшитгэл (*) болгон бууруулж, дараа нь зураглал хийх нөхцөлийг олно Ашахсан харагдана.
Энэ хэмжигдэхүүнтэй холбоотой зураглалын нэгдэл нь бүх орон зайд жигд нийлэхтэй тэнцүү байна.
Авсаархан орон зай нь тоон шугам болох онцгой тохиолдолд бид X орон зай дээрх бүх тасралтгүй функцүүдийн орон зайг жигд нийлэх хэмжигдэхүүнээр авна.
Энэ функц нь хэмжигдэхүүн болохын тулд эхний хоёр зайд 0 хэмжүүрийн олонлогт ялгаатай функцүүдийг тодорхойлох шаардлагатай. Үгүй бол энэ функц нь зөвхөн хагас хэмжигдэхүүн байх болно. (Интервал дээр тасралтгүй үргэлжлэх функцүүдийн орон зайд 0 хэмжигдэхүүн дээр ялгаатай функцүүд аль хэдийн ижил байна.)
Метрик гэж юу вэ? Энэ нь юунд ашиглагддаг вэ? Энэ нь физик талбар мөн үү?
Гроссмантай Гильберт, Эйнштейн нарын бүтээлүүдийн ачаар бидний цаг үеийн хэмжүүрүүд таталцлын онолтой нягт холбоотой байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг математикт үүнээс нэлээд эрт нэвтрүүлсэн. Хэрэв би андуураагүй бол үүнийг ямар нэг байдлаар тодорхой ашигласан хүмүүсийн дунд Риман, Гаусс нар байсан. Эхлээд бид түүний геометрийн үүрэг ролийг ойлгохыг хичээх бөгөөд зөвхөн дараа нь хэмжүүр хэрхэн Харьцангуйн ерөнхий онол болох GTR-ийн үндсэн бүтэц болсныг харах болно.
Өнөөдөр нэлээд ерөнхий хэлбэрийн хэмжүүрийн орон зайн талаар нэлээд нарийвчилсан бөгөөд тодорхой тодорхойлолт байдаг.
Математик дахь метрийн орон зай ("хэмжээгээр тоноглогдсон") нь түүний дараалсан хоёр цэгийн аль нэгийг нь (өөрөөр хэлбэл нэгийг нь эхний, нөгөөг нь хоёр дахь гэж нэрлэдэг) бодит тоо гэж нэрлэдэг орон зай юм. цэгүүд нь давхцаж, "гурвалжин" тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү байхаар тодорхойлсон - дурын гурван цэгийн (x,y,z) хувьд энэ тоо нь дурын хос (x,y) байна. (x,z) ба (y,z) хоёр хосын эдгээр тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү буюу түүнээс бага. Мөн тодорхойлолтоос харахад энэ тоо нь сөрөг биш бөгөөд хосын цэгүүдийн дараалал өөрчлөгдөхөд өөрчлөгддөггүй (хэмжээ нь тэгш хэмтэй байдаг).
Ердийнх шиг, ямар нэгэн зүйл тодорхойлогдмогц энэ тодорхойлолт өргөжиж, нэр нь бусад ижил төстэй орон зайд өргөгддөг. Тиймээс энд байна. Жишээлбэл, хатуу албан ёсоор дээр өгөгдсөн тодорхойлолтын дагуу хэмжүүр биш байх болно, учир нь Тэдгээрийн дотор "метрийн" тоо, интервал нь хоёр өөр цэгийн хувьд тэг байх ба түүний квадрат нь сөрөг бодит тоо байж болно.. Гэсэн хэдий ч бараг эхнээсээ тэд метрийн орон зайн гэр бүлд багтдаг тодорхойлолт дахь харгалзах шаардлагыг хасах, тодорхойлолтыг өргөжүүлэх.
Нэмж дурдахад хэмжигдэхүүнийг сансар огторгуйн бүх цэгүүдэд биш, зөвхөн хязгааргүй ойрхон (орон нутгийн) хувьд тодорхойлж болно. Ийм орон зайг Римани гэж нэрлэдэг бөгөөд өдөр тутмын амьдралд тэдгээрийг бас хэмжүүр гэж нэрлэдэг. Түүнээс гадна, Энэ хэмжигдэхүүнийг маш алдартай болгож, математикч, физикчдийн анхаарлыг татсан бөгөөд эдгээр шинжлэх ухаантай бараг холбоогүй олон хүмүүст ч танил болсон нь Риманы орон зай юм..
Эцэст нь бид хэмжигдэхүүнийг Риманы орон зайд тусгайлан авч үзэх болно, өөрөөр хэлбэл. орон нутгийн утгаараа. Тэр ч байтугай орон нутгийн хувьд тодорхойгүй дохио юм.
Албан ёсны математик тодорхойлолт ба түүний өргөтгөлүүд нь хэмжүүрийн ойлголтыг ойлгож, тодруулсны үр дүн юм. Энэ ойлголт хаанаас үүссэн, бодит ертөнцийн ямар шинж чанаруудтай анх холбогдож байсныг харцгаая.
Бүх геометр нь Евклидийн анх албан ёсоор гаргасан эдгээр ойлголтуудаас үүссэн. Метрик ч мөн адил. Евклидийн геометрт (энгийн бөгөөд ойлгомжтой байхын тулд бид хоёр хэмжээст геометрийн тухай, тиймээс онгоцны геометрийн тухай ярих болно) хоёр цэгийн хоорондох зай гэсэн ойлголт байдаг. Маш олон удаа, одоо ч гэсэн хэмжигдэхүүнийг зай гэж нэрлэдэг. Учир нь Евклидийн хавтгайн хувьд зай нь хэмжигдэхүүн, хэмжүүр нь зай юм. Энэ нь анхнаасаа ийм л ойлголттой байсан. Хэдийгээр би харуулахыг хичээх болно, энэ нь хэмжүүрийн орчин үеийн үзэл баримтлалд зөвхөн маш хязгаарлагдмал утгаар, олон тайлбар, нөхцөлтэй хамаарна.
Евклидийн хавтгай дээрх зай (цаасан дээр) маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой зүйл юм шиг санагддаг. Үнэн хэрэгтээ та захирагч ашиглан дурын хоёр цэгийн хооронд шулуун шугам зурж, уртыг нь хэмжиж болно. Үр дүнгийн тоо нь зай болно. Гурав дахь цэгийг авснаар та гурвалжин зурж, энэ зай (хавтгай дээрх хоёр цэгийн хувьд) дээрх тодорхойлолтыг яг хангаж байгаа эсэхийг шалгаарай. Үнэн хэрэгтээ энэ тодорхойлолтыг хавтгай дээрх Евклидийн зайны шинж чанараас нэг нэгээр нь хуулсан. "Хэмжүүр" гэдэг үг нь эхлээд онгоцны хэмжилт (метр ашиглах), "хэмжилт" гэсэн утгатай холбоотой юм.
Онгоцны яг ийм хэмжилтийг хийхийн тулд яагаад зайг хэмжих шаардлагатай байсан бэ? За, хүн бүр бодит амьдрал дээр яагаад зайг хэмждэг талаар өөр өөрийн гэсэн ойлголттой байдаг байх. Мөн геометрийн чиглэлээр тэд онгоцны цэг бүрийг бусдаас тусад нь, өвөрмөц байдлаар дүрслэхийн тулд координатуудыг нэвтрүүлж байхдаа энэ талаар үнэхээр бодож эхэлсэн. Хавтгай дээрх координатын систем нь хоёр цэгийн хоорондох зайнаас илүү төвөгтэй байх нь тодорхой. Энд гарал үүсэл, координатын тэнхлэгүүд, эх үүсвэрээс тэнхлэг дээрх цэгийн проекц хүртэлх зай (тэдгээргүйгээр бид яаж хийх вэ?) байна. Координатын систем яагаад хэрэгтэй байгаа нь тодорхой юм шиг санагдаж байна - энэ нь бие биентэйгээ перпендикуляр шугамуудын тасралтгүй сүлжээ (хэрэв координатууд нь декарт байвал) хавтгайг бүрэн дүүргэж, улмаар түүний аль ч цэгийг шийдвэрлэх асуудлыг шийддэг.
Эндээс харахад хэмжигдэхүүн нь зай, координат нь зай юм. Ялгаа байна уу? Координатыг оруулсан. Яагаад хэмжүүр гэж? Ялгаатай бөгөөд маш чухал ач холбогдолтой. Координатын системийг сонгох нь тодорхой эрх чөлөөг илэрхийлдэг. Декартын системд бид шулуун шугамыг тэнхлэг болгон ашигладаг. Гэхдээ бид муруйг бас ашиглаж болох уу? Чадах. Мөн бүх төрлийн мушгирсан. Ийм шугамын дагуу зайг хэмжиж болох уу? Мэдээж. Шугамын дагуух зай, уртыг хэмжих нь ямар шугам байхаас хамаарахгүй. Муруй зам нь мөн урттай бөгөөд милийн тулгууруудыг байрлуулж болно. Гэхдээ Евклидийн орон зай дахь хэмжүүр нь дурын зай биш юм. Энэ нь хоёр цэгийг холбосон шулуун шугамын урт юм. Чигээрээ. Тэгээд юу вэ? Аль шугам шулуун, аль нь муруй вэ? Сургуулийн хичээл дээр шулуун шугамууд бол аксиом юм. Бид тэднийг харж, санаагаа олж авдаг. Гэхдээ ерөнхий геометрийн хувьд шулуун шугамыг (энэ нь өөрөө нэр, шошго, өөр юу ч биш!) хоёр цэгийг холбосон бүх боломжит шугамуудын дунд зарим тусгай шугам гэж тодорхойлж болно. Тухайлбал, хамгийн богино, хамгийн богино урттай. (Зарим тохиолдолд зарим математикийн орон зайн хувьд эсрэгээрээ хамгийн урт нь хамгийн их урттай байдаг.) Бид хоёр цэгийн хоорондох хэмжүүр болон дурын зайны ялгааг ойлгосон юм шиг санагдаж байна. Тийм ч. Бид буруу замаар явсан. Тийм ээ, шулуун шугамууд нь Евклидийн орон зайд хамгийн богино байдаг. Гэхдээ хэмжүүр нь зөвхөн хамгийн богино замын урт биш юм. Үгүй Энэ бол түүний хоёрдогч өмч юм. Евклидийн орон зайд хэмжүүр нь зөвхөн хоёр цэгийн хоорондох зай биш юм. Метрик нь юуны түрүүнд Пифагорын теоремын дүрслэл юм. Хэрэв та тэдгээрийн координат болон өөр хоёр зайг мэддэг бол хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох боломжийг олгодог теорем. Түүнээс гадна координатын зайн квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуур гэж маш нарийн тооцоолдог. Евклидийн хэмжүүр нь координатын зайн шугаман хэлбэр биш, харин квадрат хэмжигдэхүүн юм!Зөвхөн Евклидийн хавтгайн өвөрмөц шинж чанарууд нь хэмжигдэхүүнийг цэгүүдийг холбох хамгийн богино замтай холбохыг маш энгийн болгодог. Зай нь үргэлж замын дагуух шилжилтийн шугаман функцууд юм. Метрик нь эдгээр шилжилтийн квадрат функц юм. Нэг цэгээс нүүлгэн шилжүүлэх шугаман функц болох хэмжигдэхүүн ба зөн совингоор ойлгосон зайны үндсэн ялгаа энд оршдог. Түүнээс гадна бидний хувьд ерөнхийдөө зай нь нүүлгэн шилжүүлэлттэй шууд холбоотой байдаг.
Яагаад, яагаад дэлхий дээр квадрат шилжилтийн функц тийм чухал байдаг вэ? Тэгээд энэ нь үнэхээр бүрэн утгаараа зай гэж нэрлэгдэх эрхтэй юу? Эсвэл энэ нь зөвхөн Евклидийн орон зайн өвөрмөц шинж чанар мөн үү (эсвэл Евклидийн ойролцоо орон зайн гэр бүл) үү?
Хэмжилтийн нэгжийн шинж чанаруудын талаар бага зэрэг алхаж, илүү дэлгэрэнгүй ярилцъя. Өөрөөсөө асууя: цаасан дээр координатын сүлжээг зурахын тулд захирагчид ямар байх ёстой вэ? Хатуу, хатуу, өөрчлөгдөөгүй гэж та хэлж байна. Тэгээд яагаад "захирагч" гэж? Нэг нь хангалттай! Хэрэв үүнийг цаасны хавтгайд хүссэнээрээ эргүүлж, түүний дагуу хөдөлгөж чадвал үнэн. Та "хэрэв" гэдгийг анзаарсан уу? Тийм ээ, ийм захирагчийг онгоцтой холбоотой ашиглах боломж бидэнд бий. Захирагч нь дангаараа, онгоц нь дангаараа байдаг, гэхдээ онгоц нь захирагчаа өөрт нь "холбох" боломжийг олгодог. Бөмбөрцөг гадаргууг яах вэ? Та үүнийг яаж түрхсэнээс үл хамааран бүх зүйл гадаргуугаас гадуур наалддаг. Би зүгээр л нугалж, хатуулаг, хөшүүн чанараас нь татгалзмаар байна. Энэ бодлыг одоохондоо орхиё. Бид шугамаас өөр юу хүсэх вэ? Хатуулаг ба хөшүүн чанар нь хэмжилт хийхдээ бидний хувьд илүү чухал ач холбогдолтой өөр нэг зүйлийг илэрхийлдэг - сонгосон захирагчийн хувиршгүй байдлын баталгаа юм. Бид ижил масштабаар хэмжихийг хүсч байна. Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Яагаад гэж юу гэсэн үг?! Онгоцны хаана ч байсан хэмжилтийн үр дүнг харьцуулах чадвартай байх. Бид захирагчийг хэрхэн эргүүлэхээс үл хамааран түүний зарим шинж чанар, урт нь өөрчлөгдөхгүй байх баталгаатай байх ёстой. Урт гэдэг нь захирагч дээрх хоёр цэгийн (шулуун шугамын) хоорондох зай юм. Метриктэй маш төстэй. Гэхдээ хэмжигдэхүүнийг хавтгайд, хавтгай дээрх цэгүүдэд нэвтрүүлсэн (эсвэл байдаг) бөгөөд захирагч үүнтэй ямар холбоотой вэ? Тэгээд ч гэсэн хэмжигдэхүүн нь логик дүгнэлтэнд аваачиж, хамгийн гадна талын захирагчаас салгаж, хавтгайн цэг бүрт хуваарилагдсан хийсвэр захирагчийн тогтмол уртын дүрс юм..
Хэдийгээр манай захирагчид хавтгай дээр хэмждэг зайн хувьд үргэлж гаднах объект байдаг ч бид тэдгээрийг мөн хавтгайд хамаарах дотоод масштаб гэж боддог. Тиймээс бид гадаад, дотоод эрх баригчдын нийтлэг өмчийн тухай ярьж байна. Энэ шинж чанар нь хоёр үндсэн шинж чанарын нэг юм - хэмжээс нь масштабыг хэмжлийн нэгж болгодог (масштабны хоёр дахь шинж чанар нь чиглэл юм). Евклидийн орон зайн хувьд энэ шинж чанар нь захирагчийн чиглэл, түүний байрлалаас (сансар огторгуйн цэгээс) хамааралгүй мэт санагддаг. Энэхүү бие даасан байдлыг илэрхийлэх хоёр арга бий. Эхний арга буюу аливаа зүйлийг идэвхгүй харах нь хэмжигдэхүүний өөрчлөгдөөгүй байдал, зөвшөөрөгдөх координатыг дур зоргоороо сонгоход ижил байдлын тухай өгүүлдэг. Хоёрдахь арга, идэвхтэй харц нь цэгээс цэг рүү тодорхой шилжилтийн үр дүнд орчуулах, эргүүлэх үед өөрчлөгддөггүй байдлын тухай өгүүлдэг. Эдгээр аргууд нь бие биетэйгээ тэнцүү биш юм. Эхнийх нь тухайн газар (цэг) дээр байгаа хэмжигдэхүүн нь үзэл бодлоос үл хамааран ижил байна гэсэн мэдэгдлийг албан ёсны болгох явдал юм. Хоёр дахь нь өөр өөр цэгүүд дэх хэмжигдэхүүнүүдийн утгууд ижил байна гэж заасан. Энэ нь илүү хүчтэй мэдэгдэл болох нь ойлгомжтой.
Одоохондоо координатыг дур мэдэн сонгох хуваарийн утгын инвариант байдлын талаар ярилцъя. Өө! Үүн шиг? Цэгүүдэд координат оноохын тулд та масштабтай байх шаардлагатай. Тэдгээр. яг энэ мөр. Бусад координатууд юу вэ? Бусад мөрүүд? Үнэн хэрэгтээ энэ нь яг ийм юм! Гэхдээ! Евклидийн хавтгайд бид захирагчаа хүссэн цэгтээ эргүүлж чаддаг нь захирагчийг өөрчлөхгүйгээр координатыг өөрчлөх боломжтой мэт дүр төрхийг бий болгодог.Энэ бол хуурмаг, гэхдээ ийм таатай хуурмаг юм! Бид үүнд ямар их дассан юм бэ! Эргүүлсэн координатын систем гэж бид үргэлж хэлдэг. Мөн энэхүү хуурмаг байдал нь Евклидийн хавтгай дахь тодорхой хэмжээний масштабын шинж чанар дээр суурилдаг - цэг дээр дур зоргоороо эргэх үед түүний "урт" -ын өөрчлөгдөөгүй байдал, жишээлбэл. масштаб, чиглэлийн хоёр дахь шинж чанарыг дур зоргоороо өөрчлөх замаар. Мөн энэ өмч нь Евклидийн хавтгайн аль ч цэг дээр явагддаг. Масштаб нь хаа сайгүй "урттай" байдаг бөгөөд энэ нь координатын тэнхлэгүүдийн чиглэлийг орон нутгийн сонголтоос хамаардаггүй. Энэ бол Евклидийн орон зайд зориулсан постулат юм. Мөн бид энэ уртыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Сонгосон масштаб нь аль нэг тэнхлэгийн дагуу хэмжих нэгж болох координатын системд бид үүнийг маш энгийнээр тодорхойлдог - энэ бол ижил нэгж юм. Сонгосон масштаб нь аль ч тэнхлэгтэй давхцдаггүй координатын системд (тэгш өнцөгт) үү? Пифагорын теоремыг ашиглах. Теорем бол теорем, гэхдээ энд бага зэрэг хууран мэхлэлт бий. Үнэн хэрэгтээ энэ теорем нь Евклидийн томъёолсон зарим аксиомыг орлуулах ёстой. Тэр тэдэнтэй тэнцэнэ. Мөн геометрийг цаашид ерөнхийд нь (жишээлбэл, дурын гадаргуугийн хувьд) тэд масштабын уртыг тооцоолох аргад яг тулгуурладаг. Үнэн хэрэгтээ энэ аргыг аксиомын ангилалд шилжүүлж байна.
Хавтгай дээрх цэгүүдэд координат оноох боломжийг олгодог геометрийн үндэс болсон зүйлийг одоо давтъя.
Хэмжилтийн нэгж, масштабын тухай ярьж байна. Хэмжээ нь ямар ч үед байдаг. Энэ нь хэмжээстэй - "урт" ба чиглэлтэй. Нэг цэгийн чиглэл өөрчлөгдөхөд урт нь өөрчлөгддөггүй (өөрчлөгддөггүй). Евклидийн орон зай дахь тэгш өнцөгт координатуудад цэгээс дур зоргоороо чиглэсэн масштабын уртын квадрат нь тэнхлэг дээрх проекцуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ геометрийн хэмжигдэхүүнийг мөн вектор гэж нэрлэдэг. Тэгэхээр масштаб нь вектор юм. Векторын "урт" -ыг мөн норм гэж нэрлэдэг. Сайн байна. Гэхдээ энд хэмжүүр хаана байна вэ? А хэмжүүрийм хандлагатай байдаг цэг бүрт ямар ч векторт норм оноох арга, суурь, жишиг цэгийг бүрдүүлдэг векторуудтай харьцуулахад энэ векторын дурын байрлалын хувьд энэ нормыг тооцоолох арга(өгөгдсөн цэгээс координатын тэнхлэгүүдийн чиглэлийг тодорхойлж, тодорхойлолтоор нэгжийн нормтой, өөрөөр хэлбэл хэмжилтийн нэгжүүд). Энэ аргыг орон зайн цэг бүрт (энэ тохиолдолд хавтгай) тодорхойлсон байх нь маш чухал юм. Иймээс энэ нь орон зайн гаднах объектуудын бус харин энэ орон зай ба түүний дотоод векторуудын өмч юм.
Уучлаарай, гэхдээ бид аль хэдийн метрик орон зайн тодорхойлолтыг өгсөн. Яагаад шинэ тодорхойлолт гэж? Мөн энэ нь хуучинтай тохирч байна уу? Гэхдээ яагаад. Энэ бодит тоог яг хэрхэн тогтоож, тодорхойлж байгааг энд харуулав. Тухайлбал, цэгүүдийн хоорондох зай нь эдгээр цэгүүдийг холбосон векторын норм болох "урт"-тай тэнцүү байна (Евклидийн орон зайд). Вектор нь түүн дээрх үзэл бодлоос хамааралгүй тодорхой нормтой байх (лавлах цэгийг сонгох) нь векторын тодорхойлолт юм. Сансар огторгуйн хэмжигдэхүүнийг хэмждэг хамгийн чухал нөхцөл бол өгөгдсөн нормтой векторууд огторгуйн бүх цэгт бүх чиглэлд байх шаардлага юм. Энэ тодорхойлолт нь эхэнд өгсөнтэй нэлээд нийцэж байна. Тодорхой орон зайд хэмжигдэхүүнийг өөрөөр тодорхойлох боломжтой юу? Зарчмын хувьд энэ нь боломжтой юм. Тэр ч байтугай олон талаараа. Зөвхөн эдгээр нь Евклидийн орон зайг онцгой тохиолдол болгон оруулаагүй огт өөр ангиллын орон зай байх болно.
Евклидийн орон зай яагаад бидний хувьд онцгой байдаг вэ? За, ямархуу юм бэ? Өнгөц харахад бидний амьдарч буй орон зай яг ийм шинж чанартай байдаг. Тиймээ, сайтар шалгаж үзэхэд тийм биш юм. Гэхдээ "ямар ч тийм биш", "ямар ч тийм биш" хоёрын хооронд ялгаа бий ?! Хэдийгээр үгсийн багц нь адилхан юм шиг санагддаг. Тиймээс бидний орон зай-цаг хугацаа, хэрэв Евклид биш юмаа гэхэд тодорхой нөхцлөөр түүнд маш ойрхон байж болно. Тиймээс бид Евклидийн орон зай байдаг орон зайн бүлгээс сонгох ёстой. Үүнийг л бид хийдэг. Гэсэн хэдий ч хэмжүүрийн тодорхой шинж чанараар илэрхийлэгддэг Евклидийн орон зай юугаараа онцлог вэ? Маш олон үл хөдлөх хөрөнгө байдаг бөгөөд тэдгээрийн ихэнхийг дээр дурдсан болно. Би энэ онцлогийг нэлээд нягт томъёолохыг хичээх болно. Евклидийн орон зай нь тэгш өнцөгт координатын тороор бүрэн дүүрэн байхын тулд масштабыг сонгох боломжтой (өөрөөр хэлбэл координатыг оруулах) боломжтой юм. Магадгүй энэ нь сансар огторгуйн цэг бүрийн хэмжүүр ижил байх үед юм. Үндсэндээ энэ нь сансар огторгуйн цэг бүрт үүнд шаардлагатай хэмжүүрүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд нэгтэй ижил байдаг гэсэн үг юм. Бүхэл бүтэн орон зайд нэг захирагч хангалттай бөгөөд түүний хэмжээ, чиглэлийг өөрчлөхгүйгээр аль ч цэг рүү (идэвхтэй утгаараа) шилжүүлэх боломжтой.
Дээр би метр яагаад шилжилтийн квадрат функц байдаг вэ гэсэн асуултыг тавьсан. Энэ нь одоогоор хариултгүй хэвээр байна. Бид үүн дээр дахин ирэх нь гарцаагүй. Одоо өөртөө зориулж ирээдүйн талаар тэмдэглэл хий - Бидэнд хэрэгтэй орон зайн гэр бүлийн хэмжигдэхүүн бол координатын хувиргалт дахь хэмжигдэхүүн юм. Бид одоог хүртэл декартын координатуудын талаар ярилцсан боловч энэ нь тухайн орон зайн өгөгдсөн цэгт зөвшөөрөгдөх аливаа координатын хувиргалтуудын хувьд үнэн гэдгийг би нэн даруй онцлон тэмдэглэх болно. Координатын хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй (өөрчлөгддөггүй) хэмжигдэхүүн нь геометрийн өөр нэг тусгай нэртэй байдаг - скаляр. Нэг зүйлд хичнээн олон нэр байгааг хараарай - тогтмол, инвариант, скаляр... Магадгүй өөр зүйл байгаа байх, тэр даруй санаанд ордоггүй. Энэ нь уг үзэл баримтлалын ач холбогдлын тухай өгүүлдэг. Тэгэхээр хэмжүүр нь тодорхой утгаараа скаляр юм. Мэдээжийн хэрэг, геометрийн бусад скалярууд байдаг.
Яагаад "тодорхой утгаар" гэж? Учир нь хэмжүүр гэдэг ойлголт нь нэг биш хоёр цэгийг агуулдаг! Мөн вектор нь зөвхөн нэг цэгээр холбогдсон (тодорхойлогдсон). Би чамайг төөрөгдүүлсэн юм болов уу? Үгүй ээ, би хэлэх ёстой бүх зүйлийг хэлээгүй. Гэхдээ хэмжүүр нь дурын векторын норм биш, зөвхөн өгөгдсөн цэгээс дурын чиглэлд хязгааргүй бага шилжилтийн векторын норм гэдгийг хэлэх ёстой. Хэрэв энэ норм нь цэгээс шилжих чиглэлээс хамаарахгүй бол түүний скаляр утгыг зөвхөн энэ нэг цэгийн өмч гэж үзэж болно. Үүний зэрэгцээ энэ нь бусад векторын нормыг тооцоолох дүрэм хэвээр байна. Үүн шиг.
Ямар нэг зүйл тохирохгүй байна ... Янз бүрийн векторуудын хувьд норм өөр өөр байдаг! Мөн хэмжигдэхүүн нь скаляр, утга нь ижил байна. Зөрчилдөөн!
Ямар ч зөрчил байхгүй. Би үүнийг тодорхой хэлсэн - тооцооллын дүрэм. Бүх векторуудын хувьд. Мөн хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг тодорхой утгыг энэ дүрмийн дагуу зөвхөн нэг вектор, шилжилтийг тооцдог. Манай хэл эрх чөлөө, орхигдуулсан, товчилсон үгэнд дассан... Тиймээс бид скаляр, түүнийг тооцох дүрмийг хоёуланг нь хэмжигдэхүүн гэж нэрлээд дассан. Үнэндээ энэ нь бараг ижил зүйл юм. Бараг, гэхдээ тийм биш. Дүрэм ба түүний тусламжтайгаар олж авсан үр дүнгийн ялгааг харах нь чухал хэвээр байна. Юу нь илүү чухал вэ - дүрэм эсвэл үр дүн? Хачирхалтай нь, энэ тохиолдолд дүрэм ... Тиймээс геометр, физикт хэмжүүрийн талаар ярихдаа тэд дүрмийг хэлдэг. Зөвхөн маш зөрүүд математикчид үр дүнгийн талаар хатуу ярихыг илүүд үздэг. Үүний шалтгаан бий, гэхдээ өөр газар илүү дэлгэрэнгүй.
Вектор орон зайн тухай ойлголтыг үндэс болгон авч үзэхэд хэмжүүрийг бүх суурь ба лавлагаа векторуудын скаляр хос үржвэр болгон нэвтрүүлдэгийг илүү ердийн хэлбэрээр танилцуулахыг бас тэмдэглэхийг хүсч байна. Энэ тохиолдолд векторуудын скаляр үржвэрийг урьдчилан тодорхойлсон байх ёстой. Миний энд дагаж мөрдөж байсан зам дээр энэ нь орон зайд метрик тензор байгаа нь векторуудын скаляр үржвэрийг танилцуулж, тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог. Энд хэмжигдэхүүн нь анхдагч бөгөөд түүний оршихуй нь скаляр бүтээгдэхүүнийг хоёр өөр векторыг холбосон инвариант хэлбэрээр нэвтрүүлэх боломжийг бидэнд олгодог. Хэрэв ижил векторын хэмжүүр ашиглан скаляр тооцоолсон бол энэ нь зүгээр л түүний норм юм. Хэрэв энэ скалярыг хоёр өөр вектороор тооцсон бол энэ нь тэдгээрийн цэгэн үржвэр болно. Хэрэв энэ нь бас хязгааргүй жижиг векторын норм юм бол өгөгдсөн цэг дээр үүнийг зүгээр л хэмжүүр гэж нэрлэх нь бүрэн боломжтой юм.
Дүрмээр бол хэмжүүрийн талаар бид юу хэлж чадах вэ? Энд бид томъёог ашиглах хэрэгтэй болно. i тооны тэнхлэгийн дагуух координатуудыг x i гэж тэмдэглэе. Мөн өгөгдсөн цэгээс зэргэлдээх цэг рүү шилжих шилжилт dx i. Координатууд нь вектор биш гэдгийг анхаарна уу! Мөн шилжилт нь зүгээр л вектор юм! Ийм тэмдэглэгээнд Пифагорын теоремын дагуу өгөгдсөн цэг ба хөрш зэргэлдээх цэгийн хоорондох хэмжигдэхүүн "зайг" томъёогоор тооцоолно.
ds 2 = g ik dx i dx k
Зүүн талд цэгүүдийн хоорондох хэмжүүрийн "зай" -ын квадрат, "координат" (өөрөөр хэлбэл тусдаа координатын шугам тус бүрийн дагуу) хоорондын зайг dx i нүүлгэн шилжүүлэх вектороор тодорхойлно. Баруун талд нь харгалзах коэффициент бүхий шилжилтийн векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн бүх хос бүтээгдэхүүнүүдийн давхцаж буй индексүүдийн нийлбэр байна. Метрийн нормыг тооцоолох дүрмийг тогтоодог g ik коэффициентийн матрицыг тэдгээрийн хүснэгтийг метрийн тензор гэж нэрлэдэг. Ихэнх тохиолдолд энэ тензорыг хэмжүүр гэж нэрлэдэг. Энд "" гэсэн нэр томъёо маш чухал юм. Энэ нь өөр координатын системд дээр бичсэн томъёо нь ижил байх болно гэсэн үг бөгөөд зөвхөн хүснэгтэд бусад (ерөнхий тохиолдолд) коэффициентүүдийг агуулсан байх бөгөөд эдгээр болон координатын хөрвүүлэх коэффициентүүдээр дамжуулан хатуу тодорхойлсон арга замаар тооцдог. Евклидийн орон зай нь декарт координатуудад энэ тензорын хэлбэр нь туйлын энгийн бөгөөд аль ч декарт координатад адилхан байдгаараа онцлог юм. g ik матриц нь диагональ дээр зөвхөн нэгийг агуулна (i=k хувьд), үлдсэн тоонууд нь тэг байна. Хэрэв Евклидийн орон зайд декарт бус координатуудыг ашиглавал матриц нь тийм ч энгийн харагдахгүй.
Тиймээс бид Евклидийн орон зайн хоёр цэгийн хоорондох хэмжүүрийн "зай"-ыг тодорхойлдог дүрмийг бичсэн. Энэ дүрмийг дур мэдэн ойрхон хоёр цэгт зориулж бичсэн болно. Евклидийн орон зайд, i.e. Метрийн тензор нь цэг бүр дээр зарим координатын систем дэх диагональ дээрх нэгжүүдтэй диагональ байж болох нэгэнд төгсгөлтэй ба хязгааргүй жижиг шилжилтийн векторуудын хооронд үндсэн ялгаа байхгүй. Гэхдээ бид Риманы орон зайг (жишээлбэл, бөмбөгний гадаргуу гэх мэт) илүү их сонирхож байгаа бөгөөд энэ ялгаа нь чухал юм. Тиймээс бид метрийн тензор нь ерөнхийдөө диагональ биш бөгөөд орон зайн цэгээс цэг рүү шилжих үед өөрчлөгддөг гэж бид үздэг. Гэхдээ түүний хэрэглээний үр дүн болох ds 2 нь шилжилтийн чиглэл болон цэгийн сонголтоос үл хамааран цэг бүрт үлддэг. Энэ бол маш хатуу нөхцөл (Евклидийн нөхцлөөс бага хатуу) бөгөөд энэ нь биелсэн тохиолдолд энэ орон зайг Римани гэж нэрлэдэг.
Би "урт" болон зай гэсэн үгсийг хашилтанд байнга оруулдгийг та анзаарсан байх." Ийм учраас би үүнийг хийдэг. Хавтгай ба гурван хэмжээст Евклидийн орон зайн хувьд хэмжүүрийн "зай" ба "урт" нь захирагчаар хэмжсэн энгийн зайтай яг адилхан юм. Түүнчлэн хэмжилтийн үр дүнтэй ажлыг албан ёсны болгохын тулд эдгээр ойлголтуудыг нэвтрүүлсэн. Тэгвэл яагаад "давхцаж байгаа юм шиг" байгаа юм бэ? Энэ нь инээдтэй юм, гэхдээ математикчид бохир (тэдэнд хэрэггүй) устай хамт хүүхдийг усанд хаясан нь яг ийм тохиолдол юм. Үгүй ээ, тэд ямар нэгэн зүйл үлдээсэн боловч үлдсэн зүйл нь хүүхэд (зай) байхаа больсон. Үүнийг Евклидийн хавтгайг жишээ болгон ашиглахад хялбархан харж болно.
Метрийн "зай" нь цаасан дээрх декартын (зөвхөн биш) координатыг сонгохоос хамаардаггүй гэдгийг сануулъя. Координатын тэнхлэг дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг зарим координатад 10-тай тэнцүү гэж үзье. Эдгээр цэгүүдийн хоорондох зай 1-тэй тэнцүү байх өөр координатуудыг зааж өгөх боломжтой юу? Асуудалгүй. Зүгээр л өмнөх 10 нэгжтэй тэнцэх шинэ нэгжийг ижил тэнхлэгийн дагуу нэгж болгон зур. Үүнээс болж Евклидийн орон зай өөрчлөгдсөн үү? Юу болсон бэ? Гэхдээ бид ямар нэг зүйлийг хэмжихэд тоог мэдэх нь хангалтгүй юм. Мөн энэ дугаарыг авахын тулд ямар нэгж ашигласан бэ гэдгийг мэдэх хэрэгтэй. Өнөөдөр хүн бүрт танил болсон математикийн хичээл үүнийг сонирхдоггүй. Тэр зөвхөн тоонуудтай л харьцдаг. Хэмжилтийн нэгжийн сонголтыг математик хэрэглэхээс өмнө хийсэн бөгөөд дахин өөрчлөгдөх ёсгүй!Гэхдээ бидний зай, хэмжээсийг заагаагүй урт нь бидэнд юу ч хэлэхгүй! Математик огт хамаагүй. Метрийн "зай" -ын тухайд түүний албан ёсны хэрэглээ нь масштабын сонголтод хайхрамжгүй ханддаг. Тэр ч байтугай метр, бүр гүн. Зөвхөн тоо чухал. Тийм учраас би хашилт тавьдаг. Энэ арга нь Риманы орон зайн математикт ямар гаж нөлөө үзүүлж байгааг та мэдэх үү? Энэ юу болохыг энд харуулав. Хэмжээний өөрчлөлтийг цэгээс цэг рүү авч үзэх нь утгагүй юм. Зөвхөн чиглэлээ өөрчлөх. Хэдийгээр ийм геометрийн координатын хувиргалтыг ашиглан масштабыг өөрчлөх нь маш энгийн зүйл юм. Масштабуудын шинж чанарыг бүхэлд нь тууштай авч үзэхийг геометрт оруулах боломжтой юу?Чадах. Зөвхөн Үүний тулд та олон конвенцийг хасч, аливаа зүйлийг зохих нэрээр нь дуудаж сурах хэрэгтэй болно.Эхний алхамуудын нэг нь ямар ч хэмжигдэхүүн нь үндсэндээ зай биш бөгөөд байх боломжгүй гэдгийг ойлгох явдал юм. Энэ нь мэдээжийн хэрэг физикийн утга учиртай бөгөөд үүнд маш чухал ач холбогдолтой юм. Гэхдээ өөр.
Физикийн хувьд харьцангуйн онолууд гарч ирснээр хэмжүүрийн үүрэгт анхаарал хандуулсан - эхлээд тусгай, дараа нь ерөнхий, хэмжүүр нь онолын төв бүтэц болсон. Харьцангуйн тусгай онол нь гурван хэмжээст зай нь бие биентэйгээ жигд, шулуун шугамаар хөдөлж буй инерцийн физик лавлагааны системийн багцын үүднээс авч үзвэл скаляр биш гэсэн үндсэн дээр үүссэн. Өөр нэг хэмжигдэхүүн нь интервал гэж нэрлэгддэг скаляр, инвариант болж хувирав. Үйл явдлын хоорондох завсарлага. Мөн түүний утгыг тооцоолохын тулд эдгээр үйл явдлын хоорондох хугацааны интервалыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Түүгээр ч барахгүй хэмжигдэхүүнийг тооцоолох дүрэм (мөн интервалыг нэн даруй нэгдмэл орон зай, үйл явдлын орон зайд хэмжүүр гэж үзэж эхэлсэн) гурван хэмжээст орон зайд ердийн Евклидийн дүрмээс ялгаатай болох нь тогтоогдсон. Үүнтэй төстэй, гэхдээ арай өөр. Дөрвөн хэмжигдэхүүнтэй харгалзах хэмжигдэхүүнийг танилцуулав Херман Минковски, гэж дуудаж эхлэв. Минковскигийн ажил нь физикчдийн, тэр дундаа Эйнштэйний анхаарлыг зөвхөн математикийн хэмжигдэхүүн биш, харин физик хэмжигдэхүүн болох хэмжигдэхүүн гэдэг ойлголтын ач холбогдлыг харуулсан юм.
Харьцангуйн ерөнхий онол нь бие биенээсээ харьцангуй хурдассан физик лавлагааны системийг харгалзан үздэг. Ийнхүү тэрээр таталцлын үзэгдлийн талаар Ньютоны онолтой уялдуулан шинэ түвшинд тайлбарлаж чадсан юм. Мөн тэрээр физик талбарт тусгайлан хэмжүүр - утга ба дүрэм, хэмжигдэхүүн тензорын аль алинд нь утгыг өгснөөр үүнд хүрч чадсан. Үүний зэрэгцээ Риманы орон зайн математик бүтцийг орон-цаг хугацааны дүрс болгон ашигладаг. Бид энэ онолын нарийн ширийнийг нэг их холдуулахгүй. Бусад зүйлсийн дотор энэ онол нь асар том биетүүд, өөрөөр хэлбэл бие биенээ татдаг биетүүд байдаг ертөнц (орон зай-цаг хугацаа) нь бидэнд тааламжтай байдаг Евклидийн хэмжүүрээс ялгаатай хэмжигдэхүүнтэй байдаг гэж үздэг. Доорх бүх мэдэгдлүүд тэнцүү байна:
Физик мэдэгдэл. Масстай цэгэн бие бие биедээ татагддаг.
Их хэмжээний биетүүд байдаг орон зай-цаг хугацааны хувьд хатуу тэгш өнцөгт сүлжээг хаа сайгүй нэвтрүүлэх боломжгүй юм. Үүнийг хийх боломжийг олгодог хэмжих хэрэгсэл байдаггүй. Үргэлж, хичнээн жижиг байсан ч үүссэн торны "эсүүд" муруй дөрвөлжин хэлбэртэй байх болно.
Та орон зай-цаг хугацааны хувьд ижил утгатай (норм) масштабыг сонгож болно. Ийм хэмжүүрийг аль ч цэгээс өөр цэг рүү шилжүүлж, тэнд байгаа зүйлтэй харьцуулж болно. ГЭХДЭЭ! Шилжилт нь хязгааргүй бага байсан ч харьцуулсан масштабын чиглэлүүд ерөнхийдөө давхцахгүй. Хүчтэй байх тусам жин нь биед ойртох тусам ижил масс нь их байх болно. Зөвхөн масс байхгүй газарт л (гэхдээ танд нэг асуулт байна - жингийн талаар юу хэлэх вэ?) чиглэлүүд давхцах болно.
Их хэмжээний биетүүдийг агуулсан орон зай-цаг хугацааны бүсэд цэг тус бүрийн метрийн тензорыг тэдгээрийн байрлах диагональаас бусад газарт тэг байх матрицаар илэрхийлдэг координатын систем байдаггүй.
Метрик ба Евклидийн хоорондох ялгаа нь таталцлын орон (таталцлын талбар) байгаагийн илрэл юм. Түүнээс гадна метрийн тензорын талбар нь таталцлын орон юм.
Үүнтэй төстэй олон мэдэгдлийг дурдаж болох ч одоо би та бүхний анхаарлыг сүүлчийнх нь дээр хандуулахыг хүсч байна. Муруйлт. Энэ бол бидний хараахан хэлэлцээгүй зүйл юм. Энэ нь хэмжигдэхүүнтэй ямар холбоотой вэ? Ерөнхийдөө - байхгүй! хэмжүүр гэхээсээ илүү ерөнхий ойлголт юм. Ямар утгаараа?
Евклидийн орон зайг багтаасан Риманы орон зайн гэр бүл нь өөрөө илүү ерөнхий гэр бүлийн нэг хэсэг юм. Эдгээр орон зай нь ерөнхийдөө түүний хос цэг бүрийн хувьд хэмжигдэхүүн шиг ийм хэмжигдэхүүн байгаа гэсэн үг биш юм. Гэхдээ тэдний зайлшгүй шинж чанар нь өөр хоорондоо холбоотой өөр хоёр бүтэц байдаг - аффин холболт ба муруйлт. Зөвхөн муруйлтын (эсвэл холболтын) тодорхой нөхцөлд л хэмжигдэхүүн ийм орон зайд байдаг. Дараа нь эдгээр орон зайг Римани гэж нэрлэдэг. Аливаа Риманы орон зай холболт ба муруйлттай байдаг. Гэхдээ эсрэгээрээ биш.
Гэхдээ энэ хэмжигдэхүүн нь холболт эсвэл муруйлтаас хамаарч хоёрдогч гэж хэлж болохгүй. Үгүй Метрикийн оршихуй нь холболтын тодорхой шинж чанаруудын илэрхийлэл бөгөөд ингэснээр муруйлт юм. Харьцангуйн ерөнхий онолын стандарт тайлбарт хэмжүүрийг онолын хэлбэрийг бүрдүүлдэг илүү чухал бүтэц гэж үздэг. Мөн аффин холболт ба муруйлт нь хэмжигдэхүүнээс гаралтай хоёрдогч болж хувирдаг. Математик нь Евклидийн орон зайн гэр бүлийн шинж чанарыг тодорхойлдог бүтцийн ач холбогдлын шатлалын талаархи хангалттай дэвшилтэт, тууштай ойлголтыг хараахан хөгжүүлээгүй үед Эйнштейн энэхүү тайлбарыг тавьсан юм. GTR аппаратыг бүтээсний дараа юуны түрүүнд Вейл, Шоутен нарын бүтээлүүдээр (мэдээжийн хэрэг тэд төдийгүй) аффин холболтын орон зайн математикийг боловсруулсан. Ер нь харьцангуйн ерөнхий онол гарч ирснээр энэ ажилд түлхэц болсон. Таны харж байгаагаар харьцангуйн ерөнхий онол дахь бүтцийн ач холбогдлын тухай каноник тайлбар нь тэдгээрийн харилцааны талаархи математикийн өнөөгийн үзэл бодолтой давхцахгүй байна. Энэхүү каноник тайлбар нь тодорхой математик бүтцийг физик талбартай тодорхойлохоос өөр зүйл биш юм. Тэдэнд физик утгыг өгөх.
Харьцангуйн онолын хувьд орон зай цагийг дүрслэх хоёр төлөвлөгөө байдаг. Тэдний эхнийх нь орон зай-цаг хугацаа өөрөө үйл явдлын орон зай юм. Орон зай-цаг хугацааны аль ч мужийг тасралтгүй дүүргэх үйл явдлуудыг дөрвөн координат ашиглан тодорхойлдог. Тиймээс координатын системийг оруулсан гэж үзнэ. Онолын нэр нь үүн дээр онцгой анхаарал хандуулдаг - ийм орон зай-цаг хугацаанд явагддаг байгалийн хуулиудыг аливаа зөвшөөрөгдөх координатын системтэй адил томъёолох ёстой. Энэ шаардлагыг ерөнхий харьцангуйн зарчим гэж нэрлэдэг. Энэхүү онолын төлөвлөгөө нь орон зай-цаг хугацаанд хэмжигдэхүүн байгаа эсэх талаар юу ч хэлээгүй боловч түүний доторх аффин холболт (муруйлт болон бусад үүссэн математикийн бүтцүүдтэй хамт) байх үндэс суурийг аль хэдийн өгсөн болохыг анхаарна уу. Мэдээжийн хэрэг, энэ түвшинд аль хэдийн онолын математикийн объектуудад физик утгыг өгөх шаардлагатай байна. Тэр энд байна. Орон зайн цаг хугацааны цэг нь нэг талаас цаг хугацааны байрлал, агшин, нөгөө талаас дөрвөн координатаар тодорхойлогддог үйл явдлыг дүрсэлдэг. Хачирхалтай зүйл байна уу? Тэд ижил зүйл биш гэж үү? Гэхдээ үгүй. Ерөнхийдөө харьцангуйн онолын хувьд энэ нь ижил зүйл биш юм. Онолын хувьд зөвшөөрөгдөх хамгийн ерөнхий хэлбэрийн координатыг цаг хугацааны байрлал, мөч гэж тайлбарлах боломжгүй. Энэ боломжийг зөвхөн маш хязгаарлагдмал бүлэг координатууд буюу орон нутгийн инерцийн координатууд гэж үздэг бөгөөд тэдгээр нь зөвхөн цэг бүрийн ойролцоо байдаг боловч координатын ерөнхий системд хамрагдсан бүх бүс нутагт байдаггүй. Энэ бол онолын өөр нэг постулат юм. Энэ бол ийм эрлийз юм. Харьцангуй ерөнхий онолын олон асуудал эндээс гарч байгааг би тэмдэглэх болно, гэхдээ би одоо тэдэнтэй харьцахгүй.
Онолын хоёрдахь төлөвлөгөө нь орон зай-цаг хугацааны физик үзэгдэл болох таталцал, их биетүүдийн харилцан таталцлыг харгалзан үздэг түүний постулатуудын нэг хэсэг гэж үзэж болно. Энэ физик үзэгдлийг тодорхой нөхцөлд тохирох жишиг хүрээ, тухайлбал орон нутгийн инерцийн энгийн сонголтоор устгаж болно гэж үздэг. Алс холын том биетийн таталцлын талбайн жижиг бүсэд оршдог тул ижил хурдатгалтай (чөлөөт уналт) бүхий бүх биетүүдийн хувьд энэ талбар нь тодорхой лавлагааны хүрээнд ажиглагддаггүй. Албан ёсоор постулатууд энд дуусдаг боловч үнэн хэрэгтээ хэмжүүрийг авч үзэх онолын гол тэгшитгэл нь математикийн болон физикийн аль алинд нь постулатуудыг хэлдэг. Би тэгшитгэлийн талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй байгаа ч гэсэн (үнэхээр тэгшитгэлийн систем) үүнийг таны өмнө байлгах нь ашигтай хэвээр байна:
R ik = -с (Т ик – 1/2 Т г ик)
Энд зүүн талд Ricci тензор гэж нэрлэгддэг, бүрэн муруйлтын тензорын тодорхой эргэлт (бүрэлдэхүүн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэгдэл). Үүнийг муруйлт гэж нэрлэж болно. Баруун талд эрчим хүчний импульсийн тензор (харьцангуйн ерөнхий онолын хувьд цэвэр физик хэмжигдэхүүн, их биетийн хувьд дан, орон зай-цаг хугацааны хувьд гадаад хэмжигдэхүүн, энэ онолын хувьд энерги-моментийн зөөвөрлөгч нь зүгээр л нэг хэмжигдэхүүн) болон хэмжигдэхүүнийг дүрсэлсэн байна. байдаг гэж таамаглаж байна. Түүнчлэн, энэ хэмжигдэхүүн нь метрийн тензороор үүсгэгдсэн скаляр хэмжигдэхүүн бөгөөд бүс нутгийн бүх цэгүүдэд ижил байна. Мөн таталцлын тогтмолтой пропорциональ c хэмжээст тогтмол байдаг. Энэ тэгшитгэлээс харахад муруйлтыг эрчим хүчний импульс ба хэмжигдэхүүнтэй харьцуулах нь тодорхой байна. Эдгээр тэгшитгэлийн шийдлийг олж авсны дараа харьцангуйн ерөнхий онол дахь хэмжигдэхүүнд физик утгыг өгдөг. Энэ шийдэлд метрийн коэффициентүүд нь таталцлын талбайн потенциалтай (түүгээр тооцоолсон) шугаман хамааралтай байдаг тул энэ талбайн потенциалын утгыг метрийн тензорт өгдөг. Энэ аргын хувьд муруйлт нь ижил утгатай байх ёстой. Мөн аффин холболтыг талбайн хүч гэж тайлбарладаг. Энэ тайлбар нь буруу, түүний төөрөгдөл нь координатын тайлбар дээр дурдсан парадокстой холбоотой юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь онолын хувьд анзаарагдахгүй бөгөөд геометрийн хэмжигдэхүүнийг зөв физик байдлаар өгөхөд ердөө л үүсдэггүй олон тооны алдартай асуудлууд (таталцлын талбайн энергийг нутагшуулахгүй байх, онцгой байдлын тайлбар) хэлбэрээр илэрдэг. утга учир. Энэ бүхнийг "" номонд илүү дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.
Гэсэн хэдий ч харьцангуйн ерөнхий онолын хувьд ч хэмжигдэхүүн нь зохиомлоор ногдуулсан утгаас гадна өөр физик утгатай байдаг. Евклидийн орон зайн хэмжигдэхүүнийг юу тодорхойлдог болохыг санацгаая? Орон зай-цаг хугацааны хэмжилт хийхэд маш чухал зүйл бол энэ орон зайд бүхэл бүтэн талбайг жигд дүүргэх хатуу тэгш өнцөгт координатын сүлжээг нэвтрүүлэх чадвар юм. Энэ торыг физикт инерцийн лавлах систем гэж нэрлэдэг. Ийм лавлагааны систем (координатын систем) нь метрик тензорын нэг бөгөөд зөвхөн нэг стандарт хэлбэрт тохирно. Инерцтэй харьцуулахад дур зоргоороо хөдөлдөг лавлагааны системд метрийн тензорын хэлбэр нь стандартаас өөр байдаг. Бие махбодийн үүднээс авч үзвэл "лавлагаа сүлжээ" -ийн үүрэг нэлээд ил тод байдаг. Хэрэв та хатуу лавлагаатай бол цэг бүр нь цаг хугацааны хувьд ижил цагаар тоноглогдсон бол энэ нь зүгээр л ийм сүлжээг хэрэгжүүлдэг. Хоосон зайны хувьд бид зүгээр л ийм лавлагааны хэсгийг зохион бүтээж, түүнийг (орон зай) яг ижил хэмжүүрээр хангадаг. Энэхүү ойлголтоор стандарт Евклидийнхээс ялгаатай хэмжигдэхүүн тензор нь жишиг систем (координат) нь хатуу бус биеийг ашиглан бүтээгдсэн гэж хэлдэг бөгөөд магадгүй цаг нь цэгүүд дээрээ өөр өөр ажилладаг. Би үүгээр юу хэлэх гээд байна вэ? Гэхдээ тэр нь метрийн тензор нь бидний хувьд лавлагааны системийн хамгийн чухал шинж чанаруудын математик дүрслэл юм. Лавлах системийн бүтцийг бүрэн тодорхойлдог эдгээр шинж чанарууд нь энэ нь хэр "сайн" болохыг, идеалаас хэр ялгаатай болохыг тодорхойлох боломжийг олгодог - инерцийн хүрээ. Тиймээс GTR нь метрик тензорыг яг ийм дүрс болгон ашигладаг. Хэрхэн Лавлагааны бүсэд тархсан, чиг баримжаагаа цэгээс цэг рүү өөрчилдөг боловч хаа сайгүй ижил нормтой, бүх лавлагаа векторуудад нийтлэг байдаг хэмжих хэрэгслийн дүрс. Скаляр гэж тооцогддог хэмжигдэхүүн нь энэ норм, масштабын хэмжээ юм. Тензорын хувьд хэмжигдэхүүн нь лавлагааны биетийг бүрдүүлдэг бүх масштабын бие биентэйгээ харьцуулахад дурын харьцангуй хөдөлгөөнийг авч үзэх боломжийг бидэнд олгодог. Харьцангуй ерөнхий онол нь орон зай-цаг хугацааны хувьд бодит эсвэл төсөөллийн ийм лавлагаатай байх боломжтой нөхцөл байдлыг дүрсэлдэг.
Хэмжилтийн талаархи энэ үзэл нь мэдээжийн хэрэг зөв юм. Түүгээр ч зогсохгүй GTR-ийн үлдсэн гэрээнүүдэд нэн даруй анхаарлаа хандуулдаг тул энэ нь бас үр дүнтэй байдаг. Үнэн хэрэгтээ, бид өөр өөр цэгүүдийн масштабыг өөр өөрөөр чиглүүлэх боломжтой (дөрвөн хэмжээст ертөнцөд чиг баримжаа нь хөдөлгөөнийг багтаадаг) лавлах хүрээг зөвшөөрсөн. Мөн бид масштабын зарим үнэмлэхүй шинж чанар, түүний норм (интервал) хэвээр байхыг шаарддаг. Иймээс харьцангуйн ерөнхий онолын бүх боломжит лавлагааны системийг харгалзан үзсэн гэсэн мэдэгдэл нь хэт их байна. Энэ онолын хувьд харьцангуйн онол нь тийм ч ерөнхий биш юм.
© Гаврюсев В.Г.
Сайт дээр нийтлэгдсэн материалыг иш татах дүрмийн дагуу ашиглаж болно.
1. Тусгаарлагдсан цэгүүдийн орон зай.
Дурын багц ба
2. Зайтай бодит тоонуудын багц нь метрийн орон зайг бүрдүүлдэг.
3. Бодит c тоонуудын эрэмбэлэгдсэн бүлгүүдийн олонлогийг хэмжээст арифметик Евклидийн орон зай гэнэ.
Баталгаа.
Орон зай хэмжигдэхүүн гэдгийг батлахын тулд аксиомуудын хангагдах байдлыг шалгах шаардлагатай.
, , .
, , …, , i.e.
A3. Гурвалжны аксиом биелэх эсэхийг шалгацгаая. Аксиомыг дараах хэлбэрээр бичье.
, , гэж үзвэл бид ба .
Энэ тэгш бус байдлыг батлахын тулд Коши-Буняковскийн тэгш бус байдлыг ашиглана.
Үнэхээр,
Үүний үр дүнд гурвалжны аксиом хангагдсан бөгөөд өгөгдсөн хэмжигдэхүүнээр авч үзэж буй олонлог нь метрийн орон зай юм.
Q.E.D.
4. Бодит тоонуудын эрэмбэлэгдсэн бүлгүүдийн багц. Энэ хэмжигдэхүүн орон зайг .
5. Бодит тоонуудын эрэмбэлэгдсэн бүлгүүдийн багц. Энэ хэмжигдэхүүн орон зайг .
3, 4, 5-р жишээнүүд нь ижил цэгийн нөөцийг янз бүрийн аргаар хэмжиж болохыг харуулж байна.
6. Зайтай сегмент дээр тодорхойлогдсон бүх тасралтгүй бодит функцүүдийн олонлог . Энэ хэмжигдэхүүнийг орон зай дахь цэгүүдийн багц гэж тэмдэглэнэ: . Ялангуяа тэд оронд нь бичдэг.
7. Through гэдэг нь тухайн нөхцөлийг хангасан бодит тоонуудын боломжит бүх дараалал бүхий цэгүүд бөгөөд хэмжигдэхүүнийг томъёогоор тодорхойлно.
Баталгаа.
Учир нь энэ нь хүн бүрт ойлгомжтой байдаг. Тэдгээр. Цуврал нийлдэг бол болон .
Аксиомыг юу хангаж байгааг харуулъя.
1, 2-р аксиомууд нь ойлгомжтой. Гурвалжны аксиом нь дараах хэлбэртэй байна.
Бүх цуврал нийлдэг.
Тэгш бус байдал нь хэнд ч үнэн байдаг (3-р жишээг үзнэ үү). -ийн тэгш бус байдлыг олж авах үед.
Q.E.D.
8. Интервал дээр үргэлжилдэг бүх функцүүдийн олонлогийг авч үзье. Ийм хэмжигдэхүүн орон зайг тэмдэглээд квадрат хэмжигдэхүүнтэй тасралтгүй функцүүдийн орон зай гэж нэрлэдэг.
9. Бодит тооны бүх хязгаарлагдмал дарааллын багцыг авч үзье. Тодорхойлъё. Энэ хэмжигдэхүүн орон зайг .
10. Зайтай бодит тоонуудын эрэмбэлэгдсэн бүлгүүдийн олонлог нь ямар нэгэн тогтмол тоо байх бөгөөд үүнийг -ээр тэмдэглэсэн хэмжүүрийн орон зай юм.
Энэ жишээнд авч үзсэн хэмжүүр нь Евклидийн хэмжигдэхүүн (3-р жишээг үзнэ үү) болон жишээ 4-ийн хэмжигдэхүүн болж хувирдаг. Метрик (5-р жишээг үзнэ үү) нь хязгаарлах тохиолдол гэдгийг харуулж болно.
11. Нөхцөлийг хангасан бодит тоонуудын бүх боломжит дарааллыг авч үзье, энд ямар нэг тогтмол тоо байх ба зайг томъёогоор тодорхойлно. Бидэнд метрийн орон зай бий.
12. Комплекс тоонуудын бүх хязгааргүй дарааллын олонлог байг. Тодорхойлъё. Бидэнд метрийн орон зай бий.
Тодорхойлолт: Метрийн орон зай ба -ын дурын дэд олонлог байг. Дараа нь ижил функцтэй, одоо тодорхойлогдсон хэмжигдэхүүн орон зай гэж нэрлэгддэг дэд орон зайорон зай.
Үндсэн ойлголтууд
Метрийн орон зайг -ээр тэмдэглэе.
Тодорхойлолт: Метрийн орон зайд хамаарах дарааллыг дуудна суурь, хэрэв тус бүр нь тэгш бус байдлыг хангахуйц тоотой тохирч байвал .
Тодорхойлолт: Метрийн орон зайд хамаарах дарааллыг дуудна нэгдэх, хэрэв байгаа бол тус бүр нь тэгш бус байдал бүгдэд нийцэх тоотой тохирч байвал. Дараа нь үүнийг дууддаг хязгаардараалал.
Теорем: Хэрэв дараалал нь хязгаартай бол энэ нь өвөрмөц юм.
Баталгаа.
Үнэхээр, хэрэв ба бол, тэгвэл . Түүнээс хойш ба , дараа нь , i.e. .
Теорем нь батлагдсан.
Тодорхойлолт: Бүрэн метрийн орон зайүндсэн дараалал бүр нийлдэг хэмжигдэхүүн орон зай юм.
Теорем: Хоёр аргументын функц болох хэмжигдэхүүн нь тасралтгүй функц юм, i.e. хэрэв ба , тэгвэл .
Нотолгоо:
, , , байг.
Гурвалжингийн тэгш бус байдлын дагуу:
(1) -ээс бид дараахь зүйлийг авна.
(2) -аас бид дараахь зүйлийг авна.
Учир нь,
гэж тэмдэглэе.
IN метрийн орон зайТөрөл бүрийн багц, цэгүүдийн ойр орчмууд, хязгаарын цэгүүд болон сонгодог шинжилгээний бусад ойлголтуудыг авч үзэх боломжтой.
Тодорхойлолт: Доод хүрээлэн буй орчинцэгүүд нь цэг дээр төвтэй радиустай нээлттэй бөмбөг агуулсан олонлогийг хэлнэ.
Тодорхойлолт: цэг гэж нэрлэдэг хязгаар цэгХэрэв цэгийн аль нэг хөрш дор хаяж нэг цэгийг агуулж байвал олонлогийн хувьд -аас ялгаатай.
Тодорхойлолт: цэг гэж нэрлэдэг дотоод цэгзарим хөршийнх нь хамт орсон бол тохируулна.
Тодорхойлолт: багц гэж нэрлэдэг нээлттэй, хэрэв энэ нь зөвхөн дотоод цэгүүдээс бүрддэг бол. багц гэж нэрлэдэг хаалттайХэрэв энэ нь түүний бүх хязгаарыг агуулсан бол өөрөө.
Метрийн орон зай хаалттай байна.
Дэд орон зай нь хаалттай дэд олонлог байж болохгүй.
Хэрэв бид бүх хязгаарын цэгүүдийг нэмбэл бид хаагдах болно.
Тодорхойлолт: Метрийн орон зайд байрлах олонлогийг нэрлэдэг хаалттай, хэрэв энэ нь хаагдсантай давхцаж байвал: .
Хаалттай олонлог нь -ийг агуулсан хамгийн жижиг хаалттай олонлог юм.
Тодорхойлолт: Let . багц гэж нэрлэдэг нягт-д, хэрэв . багц гэж нэрлэдэг хаа сайгүй нягт, Хэрэв . багц гэж нэрлэдэг хаана ч нягт байдаггүй, хэрэв бөмбөг ямар ч байсан, багцын цэгүүдээс чөлөөлөгдсөн өөр бөмбөг байна.
Тодорхойлолт: Хэрвээ хаа сайгүй нягт тоологдох олонлогийг агуулж байвал зайг салгах боломжтой гэж нэрлэдэг.
Математикийн шинжилгээнд тооны шугамын бүрэн байдлын шинж чанар, өөрөөр хэлбэл бодит тооны үндсэн дараалал бүр тодорхой хязгаарт нийлдэг (Кошийн нэгдэх шалгуур) чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Тооны шугам нь бүрэн хэмжүүрийн орон зайн жишээ болдог.
Тусгаарлагдсан цэгүүдийн орон зай, , , , , , байна бүрэн хэмжигдэхүүн орон зай.
Орон зай бүрэн биш.
Шинжилгээ гэж нэрлэгддэг зүйлийг өргөн ашигладаг үүрлэсэн сегментүүдийн лемма :
Үүрлэсэн сегментүүдийн систем байцгаая. Дараа нь сегментийн хувьд бид .
Энэ нь багцын бүх сегментүүд нийтлэг цэгтэй байна гэсэн үг юм.
Метрийн орон зайн онолд суулгагдсан бөмбөлгүүдийн теорем ижил үүрэг гүйцэтгэдэг.
Теорем: Метрийн орон зайг бүрэн дүүрэн байлгахын тулд радиус нь хоосон огтлолцол бүхий бие биендээ суулгасан бөмбөлгүүдийн дараалал бүр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.
Нотолгоо:
Шаардлагатай:
Бүрэн хэмжигдэхүүн орон зай, бие биендээ суулгасан хаалттай бөмбөлгүүдийн дараалал байг.
Бөмбөгний радиусыг a, төвийг нь тэмдэглэе.
Төвүүдийн дараалал нь үндсэн юм, учир нь -д, үед. Түүнээс хойш - бүрэн, дараа нь . Ингээд тавья. Үнэн хэрэгтээ бөмбөг нь онооноос бусад бүх дарааллын цэгүүдийг агуулдаг. Тиймээс цэг нь бөмбөг бүрийн мэдрэгчтэй цэг (хязгаарлалтын цэг) юм. Гэхдээ хаалттай багц учраас .
Хангалттай байдал:
Үндсэн дараалал байцгаая. Үүнд хязгаар бий гэдгийг баталцгаая. Үндсэн байдлаас шалтгаалан бид дарааллаар нь бүх зүйлд тохирсон цэгийг сонгож болно. Цэгийг битүү радиустай бөмбөгний төв гэж үзье. , бие биендээ суулгагдсан, бөмбөг - зарим хаалттай радиустай бөмбөг нь дуусгах замаар тодорхой цэгийг агуулдаг.
Риман, Лобачевский, Эйнштейн болон бусад нөхдөөс өмнө геометрийг хавтгай, үл үзэгдэх цэгүүд, хоёр чиглэлд хязгааргүй шулуун шугамуудаас барьж байгуулжээ. Бид тодорхой үйл явц гэж ойлгодог хавтгай гурван хэмжээст ертөнц дээр цаг хугацаа бахархалтайгаар эргэлдэж, зүрхний цохилт, цагийг цохиход хялбар болгох үүднээс хэмжигддэг. Бүх зүйл танил, ойлгомжтой, ойлгомжтой, хүч үйлчилдэг, сансар огторгуй дахь гурван координатыг хаанаас ч тодорхойлж болно - зүгээр л шон дээр жолоодоорой.
Үзэгнийхээ үзүүрт олон хэмжээст орон зайг судалж буй математикчид гарч ирснээр хийдийн төгсгөл ирэв. Тэд хүний нүд, мэдрэхүйд төсөөлшгүй нарийн төвөгтэй, олон координаттай объект, системийг бүтээсэн, тухайлбал алдарт дөрвөн хэмжээст шоо, Мобиусын зурвас гэх мэт. Төсөөллийн орон зай нь процессын хугацаатай хавтгай ба шулуун шугамуудаас бүрдэх албагүй, жишээлбэл, жигд бус хэлбэртэй хоолойд өнхрүүлсэн хавтгай хуудаснаас бүрдэх нь аажмаар тодорхой болсон; хоолойн төвд зурсан тэнхлэг. Ийм "буруу" орон зайд байрлуулсан цэг нь бидний дассан гурван координатыг дахин хэзээ ч олж авахгүй, учир нь хөтлүүр нь тэдгээрийг хэмжихэд тус болохгүй. Евклидийн бус орон зай дахь өгөгдсөн цэгийн байрлалыг бүхэл тоогоор илэрхийлэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь мөн тодорхой дүрмийн дагуу тасралтгүй өөрчлөгддөг. Зохиомол орон зай бүрийн дүрмүүд өөр өөр байдаг. Ийм тооны массивыг тензор гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь орон зай дахь цэгүүдийн талаархи мэдээллийг алдартай тоглоомын "хадаасны зураг" хэлбэрээр хадгалдаг: саваа бүрийн урт нь нэг цэг рүү чиглэсэн вектор юм; координатуудын нэг, тэдгээрийн хослол нь түүний цорын ганц, цорын ганц дүр төрхийг өгдөг.
Тензорууд нь нарийн төвөгтэй объектууд боловч тэдгээрт нийтлэг байдаг нэг зүйл байдаг - тензорыг тензорын матриц гэж нэрлэгддэг хоёр хэмжээст хүснэгтийг тодорхойлох замаар саваа векторуудын массивыг "тайрч" авах боломжтой бөгөөд үүнд энгийн тоонуудын оронд хоёр хэмжээст хүснэгт байдаг. нь түүнийг хувиргах дүрмийг тодорхойлсон томъёо юм. Матриц бол олон зууны өмнө үйлдлүүд нь сайн хөгжсөн энгийн объект юм. Математикчдын дарга нар шаргуу ажиллаж, янз бүрийн томьёог орлуулж, хамгийн төсөөлшгүй орон зайд цэгүүдийн тензор бүтээв. Эцэст нь Минковски, Риман, Лоренц, Эйнштейн нарын хүчин чармайлтаар бидний хүлээн авч буй гурван хэмжээст Евклидийн орон зай, цаг хугацааны үйл явцыг хангалттай нарийвчлалтайгаар дүрсэлсэн хамгийн энгийн тензоруудыг нээсэн. Тэдний матрицыг хэмжүүр гэж нэрлэдэг.
Дараа нь Эйнштейний үндэс болгосон вакуум дахь гэрлийн хурдны тогтмол байдлаас шалтгаалан Минковски хэмжигдэхүүнийг цэгүүдийн хоорондох маш хол зайд эсвэл таталцлын харилцан үйлчлэлийн маш өндөр хурдтай үед хэрэглэх боломжгүй болдог гэж ойлгосон. Математикчдын тэргүүнүүд онолыг туршилтаар баталгаажуулахыг хайж байсан физикчидтэй эвсэж, дахин ажиллаж эхлэв. Хоёр хэмжээст тэгш өнцөгт хавтгай ба хоёр хэмжээст бөмбөрцгийн тензорын матрицыг үржүүлснээр бидний ертөнцийг дүрсэлсэн Шварцшильд хэмжигдэхүүн ийм байдлаар гарч ирэв (энэ нь бас танил тойрог боловч хэлбэртэй байна. бүхэл бүтэн орон зай). Шварцшильдын хэмжүүр нь бид яагаад селестиел бөмбөрцөг дэх биетүүдийн хөдөлгөөнийг өөрөөр биш харин яг ийм байдлаар хүлээн авдаг болохыг тайлбарлах боломжийг олгосон. Үүнд цаг хугацаа нь тогтмол утга (!) бөгөөд тооцоолол бүрт тусад нь оруулдаг бөгөөд цэгээс ажиглагч хүртэлх зай нь үнэндээ хоёр объект биш, харин үйл явдлын хоорондох орон зайн (цаг) хэмжээг тодорхойлдог нэг төрлийн вектор юм.
