Inntil nå, når vi snakker om avstand, mente vi alltid euklidisk avstand. Så vi definerte avstanden mellom vektorer som lengden på vektoren, nemlig:
Men avstander kan beregnes på en annen måte, ved å bruke forskjellige lengdemål. Tenk for eksempel på et forenklet bykart i form av et rektangulært rutenett med toveis gater. Da kan et tilstrekkelig lengdemål være den korteste avstanden som må tilbakelegges for å komme fra et kryss til et annet. Noen ganger kalles denne avstanden Manhattan.
I stedet for å liste opp alle mulige lengdemål, hvorav de fleste vi ikke trenger, vil vi nå vurdere kravene (aksiomer) som et vilkårlig lengdemål må tilfredsstille. Alle påfølgende teoremer om avstander vil bli bevist innenfor rammen av disse aksiomene, det vil si i den mest generelle formen. I matematikk er det vanlig å bruke begrepet metrisk i stedet for uttrykket "lengdemål."
Beregninger.
En metrikk på et sett X er en reell funksjon d(x, y) definert på produktet x og som tilfredsstiller følgende aksiomer:
b) innebærer
d) for alle (trekantulikhet).
Et metrisk rom er et par Beviset for at den euklidiske avstanden tilfredsstiller aksiomer (a), (b) og (c) er trivielt. Trekantulikhet:
vi beviste det i avsnitt 3.1 (setning 3.1.2). Dermed er den euklidiske avstanden en metrikk, som vi heretter vil kalle den euklidiske metrikken.
La oss vurdere en viktig klasse av metrikk i rommet, nemlig klassen av -metrikker. -metrisk er en generalisering av den euklidiske metrikken og sammenfaller med den for . For p-metrikk er definert som følger:
Vi vil la følgende faktum være uten bevis:
Bevis på at -metrikken faktisk er en metrikk, dvs. tilfredsstiller aksiomene vi også utelater. Delvis er dette spørsmålet inkludert i øvelsene.
Merk at i definisjonen av metrikken krevde vi ikke at elementene x og y tilhører rommet. Dette lar oss definere mengden X, så vel som dens elementer x, y, etc., på mange forskjellige måter. Vår oppgave er å indikere under hvilke forhold fraktalkonstruksjonen konvergerer. For å gjøre dette må du kunne måle avstanden mellom kompakte sett, det vil si at du må bestemme riktig metrikk.
Mengdeori i metriske rom.
Vi må ta et stort skritt fremover og utvide de settteoretiske definisjonene i seksjon 3.1, som antydet den euklidiske metrikken, til vilkårlige metrikker. En åpen ball i et metrisk rom (X, d) er definert som følger:
Med hensyn til (3.4), kan vi la definisjonene ovenfor av følgende begreper være uendret:
For eksempel er et sett et åpent sett hvis og bare hvis man for noen kan spesifisere en åpen ball (i betydningen definisjon (3.4)), som finnes i E. Listen inkluderer alle definisjoner uten endringer, bortsett fra konseptet kompakthet. En streng definisjon av et kompakt sett i et vilkårlig metrisk rom er gitt i vedlegget. Siden vi hovedsakelig vil være interessert i kompaktheten til delmengder av rom, forblir definisjonen gitt ovenfor (lukkethet og avgrensethet) i kraft.
Hvis er en metrikk på et sett X, og er en en-til-en reell funksjon, da
det er også en metrikk på X. Aksiomer (a) og (c) er åpenbart oppfylt. tilfredsstiller aksiom (b), siden det er en en-til-en funksjon. Aksiom (d) vil bli skrevet som en ulikhet:
det vil si den klassiske trekantulikheten for reelle tall. Et eksempel på en beregning definert på denne måten:
To beregninger definert på et sett X sies å være ekvivalente hvis det er mulig å spesifisere slik at:
Det kan vises at alle to -metrikker i rommet hvor er ekvivalente (tilfellet er presentert i øvelse 3 på slutten av denne delen). På den annen side er ikke metrikk på settet R ekvivalente (øvelse 4 på slutten av denne delen).
Tilsynelatende er hovedkonsekvensen av metrikkens ekvivalens for teorien om fraktaler det faktum at den fraktale dimensjonen (kapittel 5) er bevart når man erstatter metrikken med en tilsvarende. Dessuten, hvis et sett er åpent (lukket) i en metrikk, så er det åpent (lukket) i enhver tilsvarende metrikk. Videre, hvis et sett er avgrenset i en metrikk, er det avgrenset i en hvilken som helst ekvivalent metrikk. Det samme gjelder perfekte, tilkoblede og helt diskontinuerlige sett.
Konvergens.
La være en metrikk på et sett X. En sekvens av punkter i et metrisk rom X konvergerer til en grense i metrikken d hvis tallsekvensen konvergerer til null i vanlig forstand, det vil si hvis:
Her er ekvivalensen av metrikker uttrykt som følger. Hvis beregningene er ekvivalente, så i -beregningen hvis og bare hvis i -beregningen, siden:
I så fall, omvendt.
Kontinuitet.
I et kalkuluskurs kalles en funksjon definert på X kontinuerlig i punktet if.
Metrisk plass.
Metrisk plass er et sett der avstanden mellom et hvilket som helst par av elementer er definert.
Et metrisk rom er et par, hvor er et sett ( emnesett metrisk mellomrom, sett poeng metrisk rom), og er en numerisk funksjon ( beregninger mellomrom), som er definert på det kartesiske produktet og tar verdier i settet med reelle tall - slik at for poeng
Merk: Aksiomene innebærer at avstandsfunksjonen er ikke-negativ, siden
Komprimerte skjermer.
Komprimerte skjermer en av hovedbestemmelsene i teorien metriske mellomrom om eksistensen og unikheten til et fast punkt i et sett under en spesiell ("komprimerende") kartlegging av det inn i seg selv. S. o. s. brukes hovedsakelig i teorien om differensial- og integralligninger.
Egendefinert skjerm EN metrisk plass M inn i deg selv, som på hvert punkt X fra M samsvarer med et punkt y = øks fra M, genererer i verdensrommet M ligningen
Ax = x. (*)
Vis handling EN per poeng X kan tolkes som å flytte den til et punkt y = øks. Punktum X kalles et fast punkt i kartleggingen EN, hvis likhet (*) er sann. At. spørsmålet om løsbarheten til ligning (*) er et spørsmål om å finne faste punkter i kartleggingen EN.
Vise EN metrisk plass M inn i seg selv sies å være komprimert hvis det finnes et positivt tall a< 1, что для любых точек X Og på fra M ulikhet holder
d ( Øks, ja) £ a d(x, y),
hvor er symbolet d(u, u) betyr avstand mellom punktene u og u av metrisk plass M.
S. o. P. hevder at hver komprimert kartlegging av et komplett metrisk rom i seg selv har, og dessuten bare ett, fikspunkt. Dessuten for ethvert utgangspunkt x 0 fra M etterfølge ( x n), definert av gjentakelsesrelasjoner
x n = Axe n-1 , n = 1,2,...,
har som sin grense et fast punkt X vise EN. I dette tilfellet er følgende feilestimat gyldig:
.
S. o. p. lar en bevise viktige teoremer om eksistensen og unikheten av løsninger til differensial-, integral- og andre ligninger ved hjelp av en enhetlig metode. Under anvendelsesbetingelsene til S. o. løsningen kan beregnes med en forhåndsbestemt nøyaktighet suksessive tilnærmingsmetoden.
Ved hjelp av et visst valg av det komplette metriske rommet M og kartlegging EN disse problemene reduseres først til ligning (*), og deretter finner man betingelser for kartleggingen EN vises komprimert.
Konvergensen av kartlegginger med hensyn til denne metrikken tilsvarer deres enhetlige konvergens over hele rommet.
I det spesielle tilfellet når er et kompakt rom og er talllinjen, får vi rommet til alle kontinuerlige funksjoner på rommet X med metrikken for enhetlig konvergens.
For at denne funksjonen skal bli en metrikk, er det i de to første plassene nødvendig å identifisere funksjoner som er forskjellige på settet med mål 0. Ellers vil denne funksjonen bare være en semimetrisk. (I rommet med funksjoner som er kontinuerlige på et intervall, er funksjoner som er forskjellige på et sett med mål 0 allerede de samme.)
Hva er en metrikk? Hva brukes den til? Er det et fysisk felt?
Metrikk i vår tid er fast forbundet med gravitasjonsteorien, takket være verkene til Hilbert og Einstein sammen med Grossman. Imidlertid ble det introdusert i matematikk lenge før dette. Hvis jeg ikke tar feil, var Riemann og Gauss blant de første som brukte det eksplisitt på en eller annen måte. Først vil vi prøve å forstå dens rolle i geometri, og først da vil vi se hvordan metrikken ble hovedstrukturen til GTR, den generelle relativitetsteorien.
I dag er det en ganske detaljert og klar definisjon av metriske rom av en ganske generell form:
Et metrisk rom ("utstyrt med en metrikk") i matematikk er et rom der et reelt tall for alle to av dets ordnede punkter (det vil si at ett av dem kalles det første, og det andre kalles det andre) definert slik at den er lik null, hvis og bare hvis , når punktene sammenfaller, og "trekant"-ulikheten er oppfylt - for alle tre punkter (x,y,z) er dette tallet for et hvilket som helst par (x,y) lik eller mindre enn summen av disse tallene for de to andre parene, (x,z) og (y,z). Det følger også av definisjonen at dette tallet er ikke-negativt og endres ikke (metrikken er symmetrisk) når rekkefølgen på punktene i paret endres.
Som vanlig, så snart noe er definert, utvides denne definisjonen og navnet utvides til andre, lignende rom. Så det er her. For eksempel, strengt formelt ikke vil være metrisk i henhold til definisjonen gitt ovenfor, fordi i dem kan det "metriske" tallet, intervallet, være null for to forskjellige punkter, og kvadratet kan også være et negativt reelt tall. Imidlertid er de nesten helt fra begynnelsen inkludert i familien av metriske rom, rett og slett fjerne det tilsvarende kravet i definisjonen, utvide definisjonen.
I tillegg kan metrikken også bestemmes ikke for alle punkter i rommet, men bare for uendelig nære (lokalt). Slike rom kalles Riemannian og i hverdagen kalles de også metriske. Dessuten, Det var riemannske rom som gjorde metrikken så berømt og vekket oppmerksomheten til både matematikere og fysikere, og kjent til og med for mange mennesker som har liten tilknytning til disse vitenskapene.
Til syvende og sist vil vi her diskutere metrikken i forhold spesifikt til riemannske rom, dvs. i lokal forstand. Og til og med lokalt signalmessig ubestemt.
Den formelle matematiske definisjonen og dens utvidelser er et resultat av forståelse og klargjøring av begrepet metrikk. La oss se hvor dette konseptet vokste fra og hvilke egenskaper ved den virkelige verden det opprinnelig ble assosiert med.
All geometri oppsto fra de konseptene som opprinnelig ble formalisert av Euklid. Det samme er metrikken. I euklidisk geometri (for enkelhets skyld og klarhet vil vi snakke om todimensjonal geometri, og derfor om geometrien til et plan) er det begrepet avstanden mellom to punkter. Svært ofte, selv nå, kalles metrikken avstand. Fordi for det euklidiske planet er avstand en metrikk, og en metrikk er avstand. Og det er akkurat slik det ble konseptualisert helt i begynnelsen. Selv om, som jeg skal prøve å vise, gjelder dette det moderne begrepet metrikk bare i en svært begrenset forstand, med mange forbehold og betingelser.
Avstand på det euklidiske planet (på et stykke papir) ser ut til å være en ekstremt enkel og åpenbar ting. Med en linjal kan du faktisk tegne en rett linje mellom to punkter og måle lengden. Det resulterende tallet vil være avstanden. Ved å ta det tredje punktet, kan du tegne en trekant og sørge for at denne avstanden (for alle to punkter på planet) nøyaktig tilfredsstiller definisjonen ovenfor. Faktisk ble definisjonen kopiert en-til-en fra egenskapene til den euklidiske avstanden på et plan. Og ordet "metrikk" er i utgangspunktet assosiert med måling (ved hjelp av en måler), "metrisering" av et fly.
Hvorfor var det nødvendig å måle avstander, for å utføre nettopp denne metriseringen av flyet? Vel, alle har sannsynligvis sin egen ide om hvorfor avstander måles i det virkelige liv. Og i geometri begynte de virkelig å tenke på dette da de introduserte koordinater for å beskrive hvert punkt på planet separat og unikt fra andre. Koordinatsystemet på flyet vil helt klart være mer komplekst enn bare avstanden mellom to punkter. Her er origo, og koordinataksene, og avstandene (hvordan klarer vi oss uten dem?) fra origo til projeksjonene av punktet på aksen. Det virker klart hvorfor et koordinatsystem er nødvendig - det er et kontinuerlig rutenett av linjer vinkelrett på hverandre (hvis koordinatene er kartesiske), som fullstendig fyller planet og løser dermed problemet med å adressere et hvilket som helst punkt på det.
Det viser seg at metrikken er avstand og koordinater er avstander. Er det en forskjell? Oppgitte koordinater. Hvorfor da en metrikk? Det er en forskjell, og en veldig betydelig en. Valget av koordinatsystemer innebærer en viss frihet. I kartesiske systemer bruker vi rette linjer som akser. Men vi kan også bruke kurver? Kan. Og alle slags kronglete også. Kan vi måle avstand langs slike linjer? Sikkert. Å måle avstand, lengde langs en linje er ikke relatert til hva slags linje det er. Den buede stien har også en lengde og milstolper kan plasseres på den. Men metrikken i det euklidiske rom er ikke en vilkårlig avstand. Dette er lengden på en rett linje som forbinder to punkter. Rett. Og hva er det? Hvilken linje er rett og hvilken er buet? I skolekurs er rette linjer et aksiom. Vi ser dem og får ideen. Men i generell geometri kan rette linjer (i seg selv er dette et navn, en etikett, ikke noe mer!) defineres som noen spesielle linjer blant alle mulige som forbinder to punkter. Nemlig som den korteste, med den korteste lengden. (Og i noen tilfeller, for noen matematiske rom, tvert imot, den lengste, som har størst lengde.) Det ser ut til at vi har forstått forskjellen mellom en metrisk og en vilkårlig avstand mellom to punkter. Ikke så. Vi tok feil vei. Ja, det stemmer, rette linjer er de korteste i det euklidiske rom. Men metrikken er ikke bare lengden på den korteste veien. Nei. Dette er dens sekundære eiendom. I det euklidiske rom er metrikken ikke bare avstanden mellom to punkter. Metrikken er for det første et bilde av Pythagoras teorem. Et teorem som lar deg beregne avstanden mellom to punkter hvis du kjenner koordinatene deres og to andre avstander. Dessuten er det beregnet veldig spesifikt, som kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatavstandene. Den euklidiske metrikken er ikke en lineær form for koordinatavstander, men en kvadratisk! Bare de spesifikke egenskapene til det euklidiske planet gjør tilkoblingen av metrikken til de korteste banene som forbinder punkter så enkel. Avstander er alltid lineære funksjoner av forskyvning langs banen. Metrikken er en kvadratisk funksjon av disse forskyvningene. Og her ligger den grunnleggende forskjellen mellom den metriske og den intuitivt forståtte avstanden, som en lineær funksjon av forskyvning fra et punkt. Dessuten, for oss generelt, er avstand direkte assosiert med selve forskyvningen.
Hvorfor, hvorfor i all verden er den kvadratiske forskyvningsfunksjonen så viktig? Og har den egentlig rett til å bli kalt avstand i ordets fulle forstand? Eller er dette en ganske spesifikk egenskap for bare euklidisk rom (vel, eller en familie av rom nær euklidisk)?
La oss ta et lite skritt til side og snakke mer detaljert om egenskapene til måleenheter. La oss spørre oss selv: hvordan skal linjalene være for å kunne tegne et koordinatnett på et papirark? Solid, tøff og uforanderlig, sier du. Og hvorfor "herskere"? En er nok! Sant nok, hvis det kan roteres som ønsket i papirets plan og flyttes langs det. La du merke til "hvis"? Ja, vi har mulighet til å bruke en slik linjal i forhold til et fly. Linjalen er på egen hånd, flyet er på egen hånd, men flyet lar oss "feste" vår linjal til seg selv. Hva med en sfærisk overflate? Uansett hvordan du påfører det, stikker alt ut utenfor overflaten. Jeg vil bare bøye den, gi opp hardheten og stivheten. La oss forlate denne tankegangen for nå. Hva mer ønsker vi av linjen? Hardhet og stivhet innebærer faktisk noe annet, mye viktigere for oss når vi tar målinger - en garanti for uforanderligheten til den valgte linjalen. Vi ønsker å måle med samme skala. Hvorfor er dette nødvendig? Hva mener du hvorfor?! For å kunne sammenligne måleresultater overalt i flyet. Uansett hvordan vi roterer linjalen, uansett hvordan vi forskyver den, må noen av egenskapene, lengden, garanteres å forbli uendret. Lengde er avstanden mellom to punkter (i en rett linje) på en linjal. Svært lik metrisk. Men metrikken er introdusert (eller finnes) i planet, for punkter på planet, og hva har linjalen med det å gjøre? Og til tross for det metrikken er nettopp bildet av den konstante lengden til en abstrakt linjal tatt til sin logiske konklusjon, revet av fra den ytterste linjalen og tilordnet hvert punkt på planet.
Selv om linjalene våre alltid er eksterne objekter for avstandene de måler på et plan, tenker vi også på dem som indre skalaer som tilhører planet. Følgelig snakker vi om en generell egenskap til både de ytre og interne herskerne. Og denne egenskapen er en av de to viktigste - størrelse, som er det som gjør skala til en måleenhet (den andre egenskapen til skala er retning). For det euklidiske rom ser denne egenskapen ut til å være uavhengig av retningen til linjalen og dens posisjon (fra et punkt i rommet). Det er to måter å uttrykke denne uavhengigheten på. Den første metoden, et passivt syn på ting, snakker om invariansen til en mengde, dens likhet under et vilkårlig valg av tillatte koordinater. Den andre metoden, aktivt blikk, snakker om invarians under translasjon og rotasjon, som et resultat av en eksplisitt overgang fra punkt til punkt. Disse metodene er ikke likeverdige med hverandre. Den første er ganske enkelt en formalisering av utsagnet om at mengden som finnes på et gitt sted (punkt) er den samme uavhengig av synspunkt. Den andre sier også at verdiene av mengder på forskjellige punkter er de samme. Dette er tydeligvis et mye sterkere utsagn.
La oss foreløpig dvele ved invariansen til skalaverdien for et vilkårlig valg av koordinater. Oops! Som dette? For å tildele koordinater til punkter må du allerede ha skalaer. De. akkurat denne linjen. Hva er andre koordinater? Andre linjer? Faktisk er det akkurat det! Men! Det faktum at vi i det euklidiske planet kan rotere linjalen vår på et punkt som vi vil, skaper inntrykk av at koordinatene kan endres uten å endre linjalen. Det er en illusjon, men en så hyggelig illusjon! Så vant vi er til det! Vi sier alltid – et rotert koordinatsystem. Og denne illusjonen er basert på en viss postulert skalaegenskap i det euklidiske planet - invariansen av dens "lengde" under vilkårlig rotasjon på et punkt, dvs. med en vilkårlig endring i den andre skalaegenskapen, retning. Og denne egenskapen finner sted hvor som helst på det euklidiske planet. Skalaen har overalt en "lengde" som ikke er avhengig av det lokale valget av retningene til koordinataksene. Dette er et postulat for det euklidiske rom. Og hvordan bestemmer vi denne lengden? I et koordinatsystem der den valgte skalaen er en måleenhet langs en av aksene, definerer vi den veldig enkelt - dette er den samme enheten. Og i et koordinatsystem (rektangulært), der den valgte skalaen ikke faller sammen med noen av aksene? Bruker Pythagoras teorem. Teoremer er teoremer, men det er et lite bedrag her. Faktisk burde denne teoremet erstatte noen av aksiomene formulert av Euklid. Hun er likeverdig med dem. Og med ytterligere generalisering av geometri (for vilkårlige overflater, for eksempel), stoler de nøyaktig på metoden for å beregne lengden på skalaen. Faktisk blir denne metoden henvist til kategorien aksiomer.
La oss nå gjenta noe som ligger til grunn for geometri, som lar oss tildele koordinater til punkter i planet.
Vi snakker om en måleenhet, en skala. Skala eksisterer når som helst. Den har størrelse - "lengde" og retning. Lengden er invariant (endres ikke) når retningen på et punkt endres. I rektangulære koordinater i det euklidiske rom er kvadratet på lengden av en skala rettet vilkårlig fra et punkt lik summen av kvadratene av dens projeksjoner på aksen. Denne geometriske størrelsen kalles også en vektor. Så skalaen er en vektor. Og "lengden" til en vektor kalles også normen. Fint. Men hvor er metrikken her? EN beregninger med denne tilnærmingen er det en måte å tilordne en norm til enhver vektor på hvert punkt, en metode for å beregne denne normen for en vilkårlig posisjon av denne vektoren i forhold til vektorene som utgjør basen, referansepunktet(de som bestemmer retningene til koordinataksene fra et gitt punkt og har en enhetsnorm per definisjon, dvs. måleenheter). Det er veldig viktig at denne metoden er definert for hvert punkt i rommet (plan i dette tilfellet). Dermed er det en egenskap ved dette rommet og dets indre vektorer, og ikke til objekter utenfor rommet.
Unnskyld meg, men allerede i begynnelsen ga vi en definisjon av metriske rom. Hvorfor en ny definisjon? Og stemmer det med det gamle? Men hvorfor. Her har vi angitt hvordan nøyaktig dette reelle tallet er satt og bestemt. Nemlig, avstanden mellom punktene er lik "lengden", normen til vektoren som forbinder disse punktene (i det euklidiske rom). Det at en vektor har en viss norm, uavhengig av synspunktet på den (valget av referansepunkt) er definisjonen på en vektor. Den viktigste betingelsen, som gjør rommet metrisk, er kravet om at vektorer med en gitt norm eksisterer på hvert punkt i rommet i alle retninger. Og denne definisjonen er ganske konsistent med den som ble gitt helt i begynnelsen. Er det mulig å definere en metrikk på et bestemt rom annerledes? I prinsippet er det mulig. Og til og med på mange måter. Bare disse vil være helt forskjellige klasser av rom som ikke inkluderer euklidisk rom selv som et spesielt tilfelle.
Hvorfor er det euklidiske rommet spesielt for oss? Vel, hvordan er det? Ved første øyekast har selve rommet vi bor i nettopp disse egenskapene. Ja, ved nærmere undersøkelse, ikke helt sånn. Men det er forskjell på «ikke helt sånn» og «ikke sånn i det hele tatt»?! Selv om settet med ord ser ut til å være det samme. Så vår romtid, om ikke euklidisk, så kan under visse forhold være veldig nær den. Følgelig må vi velge fra familien av rom der det euklidiske rommet eksisterer. Det er det vi gjør. Men likevel, hva er så spesielt med det euklidiske rom som kommer til uttrykk i visse egenskaper ved dets metriske? Det er ganske mange eiendommer, de fleste av dem er allerede nevnt ovenfor. Jeg skal prøve å formulere denne funksjonen ganske kompakt. Det euklidiske rommet er slik at det er mulig å velge skalaer (det vil si legge inn koordinater) slik at det fylles helt med et rektangulært koordinatnett. Kanskje dette er når metrikken på hvert punkt i rommet er den samme. I hovedsak betyr dette at skalaene som kreves for dette eksisterer på hvert punkt i rommet, og de er alle identiske med en enkelt. For hele plassen er en linjal tilstrekkelig, som kan flyttes til et hvilket som helst punkt (i aktiv forstand) uten å endre både størrelsen og retningen.
Ovenfor stilte jeg spørsmålet hvorfor metrikken er en kvadratisk funksjon av forskyvningen. Det forblir ubesvart foreløpig. Vi kommer garantert til dette igjen. Skriv nå et notat for deg selv for fremtiden - metrikken i familien av rom vi trenger er en mengde invariant under koordinattransformasjoner. Vi har hittil snakket om kartesiske koordinater, men jeg vil her umiddelbart understreke at dette er sant for alle koordinattransformasjoner som er tillatt på et gitt punkt i et gitt rom. En mengde som er invariant (endrer ikke) under koordinattransformasjoner har et annet spesielt navn i geometri - skalar. Se hvor mange navn det er for det samme - konstant, invariant, skalar... Kanskje det er noe annet, det kommer ikke umiddelbart til tankene. Dette taler for viktigheten av selve konseptet. Så en metrikk er en skalar i en viss forstand. Selvfølgelig er det andre skalarer innen geometri.
Hvorfor i en "viss forstand"? Fordi konseptet med en metrikk inkluderer to punkter og ikke ett! Og vektoren er koblet (definert) med bare ett punkt. Viser det seg at jeg villedet deg? Nei, jeg har bare ikke sagt alt som må sies. Men det må sies at metrikken ikke er normen for en vilkårlig vektor, men bare for en vektor med uendelig liten forskyvning fra et gitt punkt i en vilkårlig retning. Når denne normen ikke er avhengig av forskyvningsretningen fra et punkt, kan dens skalarverdi betraktes som en egenskap for bare dette ene punktet. Samtidig er det fortsatt regelen for å beregne normen for enhver annen vektor. Som dette.
Noe stemmer ikke... Normene er forskjellige for forskjellige vektorer! Og beregningen er skalær, verdien er den samme. Motsigelse!
Det er ingen motsetning. Jeg sa det tydelig - regneregelen. For alle vektorer. Og selve den spesifikke verdien, som også kalles en metrikk, beregnes i henhold til denne regelen bare for en vektor, forskyvningen. Språket vårt er vant til friheter, utelatelser, forkortelser... Så vi er vant til å kalle både en skalar og regelen for å beregne den for en metrikk. Faktisk er det nesten det samme. Nesten, men ikke helt. Det er fortsatt viktig å se forskjellen mellom en regel og resultatet oppnådd med dens hjelp. Hva er viktigst – regelen eller resultatet? Merkelig nok, i dette tilfellet, regelen... Derfor, mye oftere i geometri og fysikk, når de snakker om metrikk, mener de regelen. Bare veldig sta matematikere foretrekker å snakke strengt om resultatet. Og det er grunner til dette, men mer om dem andre steder.
Jeg vil også merke meg at på en mer vanlig måte å presentere, når begrepene vektorrom legges til grunn, introduseres metrikken som et skalært parvis produkt av alle basis- og referansevektorer. I dette tilfellet må skalarproduktet til vektorer defineres på forhånd. Og på veien som jeg fulgte her, er det tilstedeværelsen av en metrisk tensor i rommet som lar oss introdusere og definere skalarproduktet til vektorer. Her er metrikken primær, dens tilstedeværelse tillater oss å introdusere skalarproduktet som en slags invariant som forbinder to forskjellige vektorer. Hvis en skalar beregnes ved å bruke en metrikk for samme vektor, så er dette ganske enkelt normen. Hvis denne skalaren beregnes for to forskjellige vektorer, er det punktproduktet deres. Hvis dette også er normen for en infinitesimal vektor, er det ganske akseptabelt å bare kalle det en metrikk på et gitt punkt.
Og hva kan vi si om metrikken som regel? Her må vi bruke formler. La koordinatene langs aksenummeret i betegnes som x i. Og forskyvningen fra et gitt punkt til naboen dx i. Vær oppmerksom på at koordinater ikke er en vektor! Og forskyvningen er bare en vektor! I en slik notasjon vil den metriske "avstanden" mellom et gitt punkt og nabopunktet, i henhold til Pythagoras teorem, beregnes ved å bruke formelen
ds 2 = g ik dx i dx k
Til venstre her er kvadratet av den metriske "avstanden" mellom punktene, "koordinaten" (det vil si langs hver enkelt koordinatlinje) avstanden mellom som er spesifisert av forskyvningsvektoren dx i. Til høyre er summen over de sammenfallende indeksene til alle parvise produkter av komponentene i forskyvningsvektoren med de tilsvarende koeffisientene. Og tabellen deres, matrisen av koeffisienter g ik, som setter regelen for beregning av den metriske normen, kalles den metriske tensoren. Og det er denne tensoren som i de fleste tilfeller kalles metrikken. Begrepet "" er ekstremt viktig her. Og det betyr at i et annet koordinatsystem vil formelen skrevet ovenfor være den samme, bare tabellen vil inneholde andre (i det generelle tilfellet) koeffisienter, som beregnes på en strengt definert måte gjennom disse ogter. Euklidisk rom er preget av det faktum at i kartesiske koordinater er formen til denne tensoren ekstremt enkel og den samme i alle kartesiske koordinater. Matrisen g ik inneholder bare enere på diagonalen (for i=k), og de resterende tallene er null. Hvis ikke-kartesiske koordinater brukes i det euklidiske rom, vil ikke matrisen se så enkel ut i dem.
Så vi har skrevet ned en regel som bestemmer den metriske "avstanden" mellom to punkter i det euklidiske rom. Denne regelen er skrevet for to vilkårlig nære punkter. I det euklidiske rom, dvs. i en der den metriske tensoren kan være diagonal med enheter på diagonalen i et eller annet koordinatsystem i hvert punkt, er det ingen grunnleggende forskjell mellom endelige og infinitesimale forskyvningsvektorer. Men vi er mer interessert i tilfellet med riemannske rom (som overflaten til en ball, for eksempel), hvor denne forskjellen er betydelig. Så vi antar at den metriske tensoren generelt ikke er diagonal og endres når den beveger seg fra punkt til punkt i rommet. Men resultatet av dens anvendelse, ds 2, forblir ved hvert punkt uavhengig av valget av forskyvningsretningen og av selve punktet. Dette er en veldig streng betingelse (mindre streng enn den euklidiske betingelsen), og det er når den er oppfylt at rommet kalles Riemannsk.
Du la sikkert merke til at jeg veldig ofte setter ordene "lengde" og avstand i anførselstegn." Det er derfor jeg gjør dette. Når det gjelder det planet og det tredimensjonale euklidiske rommet, ser metrisk "avstand" og "lengde" ut til å være nøyaktig de samme som vanlige avstander målt med linjaler. Dessuten ble disse konseptene introdusert for å formalisere arbeidet med måleresultater. Hvorfor da "synes det er sammenfallende"? Det er morsomt, men dette er akkurat tilfelle når matematikere, sammen med det skitne (de trengte ikke) vannet, kastet barnet ut av badekaret. Nei, de etterlot seg noe, men det som var igjen, sluttet å være et barn (avstand). Dette er lett å se selv ved å bruke det euklidiske planet som eksempel.
La meg minne deg på at den metriske "avstanden" ikke avhenger av valget av kartesiske (og ikke bare) koordinater, for eksempel på et ark. La inn noen koordinater denne avstanden mellom to punkter på koordinataksen være lik 10. Er det mulig å angi andre koordinater der avstanden mellom disse samme punktene vil være lik 1? Ikke noe problem. Bare plott som en enhet langs de samme aksene en ny enhet lik 10 tidligere. Har det euklidiske rom endret seg på grunn av dette? Hva er i veien? Men faktum er at når vi måler noe, er det ikke nok for oss å vite tallet. Vi må også vite hvilke enheter som ble brukt for å få dette tallet. Matematikk i den formen som er kjent for alle i dag er ikke interessert i dette. Hun driver kun med tall. Valget av måleenheter ble gjort før matematikk ble brukt og bør ikke endres igjen! Men våre avstander og lengder uten å vise skalaer forteller oss ingenting! Matematikk bryr seg ikke. Når det gjelder metrisk "avstand", er dens formelle anvendelse likegyldig til valget av skala. Til og med meter, til og med favner. Bare tall betyr noe. Derfor setter jeg anførselstegn. Vet du hvilken bivirkning denne tilnærmingen har i matematikken i Riemannske rom? Her er hva det er. Det gir ingen mening å vurdere endringen i skala fra punkt til punkt. Bare en endring i retningen. Og dette til tross for at det å endre skalaer ved hjelp av koordinattransformasjoner i slik geometri er en ganske vanlig ting. Er det mulig å inkludere i geometri en konsekvent vurdering av egenskapene til skalaer i sin helhet? Kan. Bare For å gjøre dette, må du fjerne mange konvensjoner og lære å kalle ting ved deres riktige navn. Et av de første trinnene vil være å innse det faktum at ingen metrikk egentlig er en avstand og ikke kan være det. Det har absolutt en viss fysisk betydning, og en veldig viktig en. Men annerledes.
I fysikk ble oppmerksomheten til metrikkens rolle trukket med fremkomsten av relativitetsteorier - først spesiell, deretter generell, der metrikken ble den sentrale strukturen i teorien. Den spesielle relativitetsteorien ble dannet på grunnlag av det faktum at tredimensjonal avstand ikke er en skalar sett fra et sett av treghetsfysiske referansesystemer som beveger seg jevnt og rettlinjet i forhold til hverandre. En annen mengde viste seg å være en skalar, en invariant, som ble kalt et intervall. Intervall mellom hendelser. Og for å beregne verdien, må du ta hensyn til tidsintervallet mellom disse hendelsene. Dessuten viste det seg at regelen for beregning av metrikken (og intervallet begynte umiddelbart å bli betraktet som en metrikk i det enhetlige rom-tid, hendelsesrommet) er forskjellig fra den vanlige euklidiske regelen i tredimensjonalt rom. Lignende, men litt annerledes. Det tilsvarende metriske rommet med fire dimensjoner introdusert Herman Minkowski, begynte å bli kalt. Det var Minkowskis arbeid som trakk oppmerksomheten til fysikere, inkludert Einstein, til viktigheten av begrepet metrisk som en fysisk størrelse, og ikke bare en matematisk.
Den generelle relativitetsteorien tok også hensyn til fysiske referansesystemer akselerert i forhold til hverandre. Og dermed var hun i stand til å gi en beskrivelse av gravitasjonsfenomener på et nytt nivå i forhold til Newtons teori. Og hun var i stand til å oppnå dette ved å gi mening til det fysiske feltet spesifikt til metrikken - både verdien og regelen, den metriske tensoren. Samtidig bruker den den matematiske konstruksjonen av Riemann-rommet som et bilde av rom-tid. Vi vil ikke gå for langt inn i detaljene i denne teorien. Blant annet sier denne teorien at verden (rom-tid), der det er massive kropper, det vil si kropper som tiltrekker hverandre, har en metrikk som er forskjellig fra den euklidiske metrikken som er så behagelig for oss. Alle utsagnene nedenfor er likeverdige:
Fysisk utsagn. Punktlegemer med masse tiltrekkes av hverandre.
I rom-tid, der det er massive kropper, er det umulig å introdusere et stivt rektangulært rutenett overalt. Det finnes ingen måleinstrumenter som lar dette gjøres. Alltid, uansett hvor små, vil "cellene" i det resulterende rutenettet være buede firkanter.
Du kan velge en skala med samme verdi (norm) for hele romtiden. Enhver slik skala kan flyttes fra sitt punkt til et hvilket som helst annet punkt og sammenlignes med det som allerede eksisterer der. MEN! Selv om forskyvningen er uendelig liten, vil retningene til de sammenlignede skalaene generelt ikke falle sammen. Jo sterkere jo nærmere skalaen er kroppen med masse og jo større er den samme massen. Bare der det ikke er masse (men her er et spørsmål til deg - hva med selve vekten?) vil retningene falle sammen.
I området av rom-tid som inneholder massive kropper, er det ikke noe koordinatsystem der den metriske tensoren i hvert punkt er representert av en matrise som er null overalt bortsett fra diagonalen som de er plassert på.
Forskjellen mellom den metriske og den euklidiske er en manifestasjon av tilstedeværelsen av et gravitasjonsfelt (gravitasjonsfelt). Dessuten er feltet til den metriske tensoren gravitasjonsfeltet.
Mange flere lignende utsagn kunne siteres, men nå vil jeg gjøre deg oppmerksom på den siste. Krumning. Dette er noe vi ikke har diskutert ennå. Hva har det med beregninger å gjøre? I det store og hele - ingen! er et mer generelt konsept enn metrisk. I hvilken forstand?
Familien av riemannske rom, som også inkluderer euklidiske rom, er selv en del av den mer generelle familien. Disse mellomrommene betyr generelt sett ikke eksistensen av en slik mengde som en metrikk for hvert av dets punktpar. Men deres nødvendige egenskap er eksistensen av to andre strukturer relatert til hverandre - affin forbindelse og krumning. Og bare under visse forhold på krumning (eller tilkobling) eksisterer en metrikk i slike rom. Da kalles disse mellomrommene Riemannian. Ethvert Riemann-rom har tilkobling og krumning. Men ikke omvendt.
Men det kan heller ikke sies at metrikken er sekundær til tilkobling eller krumning. Nei. Eksistensen av en metrikk er en erklæring om visse egenskaper ved tilkobling, og derfor krumning. I standardtolkningen av generell relativitet blir metrikken betraktet som en viktigere struktur som danner teoriens form. Og affin forbindelse og krumning viser seg å være sekundær, avledet fra metrikken. Denne tolkningen ble lagt ned av Einstein, på et tidspunkt da matematikken ennå ikke hadde utviklet en tilstrekkelig avansert og konsistent forståelse av hierarkiet av betydning for strukturer som bestemmer egenskapene til familien av rom som fører til euklidiske rom. Etter opprettelsen av GTR-apparatet, først og fremst gjennom verkene til Weyl og Schouten (ikke bare dem, selvfølgelig), ble matematikken til rom med affin forbindelse utviklet. Faktisk ble dette arbeidet stimulert av fremveksten av generell relativitet. Som du kan se, er den kanoniske tolkningen av betydningen av strukturer i generell relativitet ikke sammenfallende med dagens syn på matematikk på deres forhold. Denne kanoniske tolkningen er ikke annet enn identifikasjon av visse matematiske strukturer med fysiske felt. Gi dem fysisk mening.
I generell relativitetsteori er det to planer for å beskrive rom-tid. Den første av dem er selve romtiden som et rom av hendelser. Hendelser som kontinuerlig fyller et hvilket som helst område av rom-tid karakteriseres ved hjelp av fire koordinater. Derfor forutsettes koordinatsystemene lagt inn. Selve navnet på teorien fokuserer oppmerksomheten nettopp på dette - naturlovene som finner sted i slike rom-tid må formuleres identisk med hensyn til ethvert tillatt koordinatsystem. Dette kravet kalles prinsippet om generell relativitet. Legg merke til at denne teoriplanen ennå ikke sier noe om tilstedeværelsen eller fraværet av en metrikk i rom-tid, men gir allerede grunnlaget for eksistensen av affin forbindelse i den (sammen med krumning og andre avledede matematiske strukturer). Naturligvis er det allerede på dette nivået et behov for å gi fysisk mening til teoriens matematiske objekter. Her er han. Et punkt i rom-tid skildrer en hendelse, preget på den ene siden av posisjon og tidspunkt, på den andre siden av fire koordinater. Noe rart? Er de ikke det samme? Men nei. I generell relativitet er det ikke det samme. Koordinater av den mest generelle formen, tillatelig i teorien, kan ikke tolkes som posisjoner og tidsøyeblikk. Denne muligheten er kun postulert for en svært begrenset gruppe av koordinater - lokalt treghet, som bare eksisterer i nærheten av hvert punkt, men ikke i hele regionen som dekkes av det generelle koordinatsystemet. Dette er et annet postulat av teorien. Dette er en slik hybrid. Jeg vil merke meg at det er her mange av problemene med generell relativitetsteori oppstår, men jeg skal ikke behandle dem nå.
Teoriens andre plan kan betraktes som den delen av dens postulater, som introduserer det fysiske fenomenet i rom-tid - tyngdekraften, den gjensidige tiltrekningen av massive kropper. Det hevdes at dette fysiske fenomenet under visse forhold kan ødelegges ved et enkelt valg av en passende referanseramme, nemlig en lokalt treghetsramme. For alle legemer som har samme akselerasjon (fritt fall) på grunn av tilstedeværelsen i et lite område av gravitasjonsfeltet til et fjernt massivt legeme, er dette feltet ikke observerbart i en viss referanseramme. Formelt slutter postulatene der, men faktisk refererer hovedligningen til teorien, som introduserer metrikken i betraktning, også til postulatene, både som en matematisk utsagn og som en fysisk. Selv om jeg ikke skal gå i detalj om ligningen (egentlig system av ligninger), er det fortsatt nyttig å ha den foran deg:
R ik = -с (T ik – 1/2 T g ik)
Her til venstre er den såkalte Ricci-tensoren, en viss konvolusjon (kombinasjon av bestanddeler) av hele krumningstensoren. Det kan med rette også kalles krumning. Til høyre er en konstruksjon av energi-momentum-tensoren (en rent fysisk størrelse i generell relativitet, singular for massive kropper og ekstern for rom-tid, som ganske enkelt er en bærer for energi-momentum i denne teorien) og en metrikk, som antas å eksistere. Dessuten er denne metrikken, som en skalær mengde produsert av den metriske tensoren, den samme for alle punkter i regionen. Det er også en dimensjonskonstant c, proporsjonal med gravitasjonskonstanten. Fra denne ligningen er det klart at krumning i det store og hele sammenlignes med energimomentum og metrisk. Den fysiske betydningen tildeles metrikken i generell relativitet etter å ha oppnådd en løsning på disse ligningene. Siden de metriske koeffisientene i denne løsningen er lineært relatert til potensialet til gravitasjonsfeltet (kalkulert gjennom det), blir betydningen av potensialene til dette feltet tildelt den metriske tensoren. Med denne tilnærmingen bør krumning ha en lignende betydning. Og affin forbindelse tolkes som feltstyrke. Denne tolkningen er feil dens feilslutning er assosiert med paradokset nevnt ovenfor i tolkningen av koordinater. Naturligvis går dette ikke upåaktet hen for teorien og manifesterer seg i en rekke velkjente problemer (ikke-lokaliserbarhet av energien til gravitasjonsfeltet, tolkning av singulariteter), som rett og slett ikke oppstår når man gir geometriske størrelser den korrekte fysiske betydning. Alt dette er diskutert mer detaljert i boken "".
Men selv i generell relativitetsteori har metrikken uunngåelig, i tillegg til betydningen kunstig pålagt den, en annen fysisk betydning. La oss huske hva som kjennetegner metrikken når det gjelder det euklidiske rom? En veldig viktig ting for målinger i rom-tid er muligheten til å introdusere i dette rommet et stivt rektangulært koordinatnett som jevnt fyller hele området. Dette rutenettet kalles en treghetsreferanseramme i fysikk. Et slikt referansesystem (koordinatsystem) tilsvarer én og bare én standardform av den metriske tensoren. I referansesystemer som beveger seg vilkårlig i forhold til treghetssystemet, er formen til den metriske tensoren forskjellig fra standarden. Fra et fysisk synspunkt er rollen til "referansenettet" ganske gjennomsiktig. Hvis du har en stiv referansekropp, hvor hvert punkt er utstyrt med den samme klokken, som eksisterer i tid, implementerer den bare et slikt rutenett. For tomt rom finner vi ganske enkelt opp et slikt referanselegeme, og gir det (mellomrom) nøyaktig samme metrikk. I denne forståelsen sier den metriske tensoren, forskjellig fra den standard euklidiske, at referansesystemet (koordinatene) er bygget ved hjelp av en ikke-stiv kropp, og kanskje klokken også går annerledes på sine punkter. Hva mener jeg med dette? Men det faktum at den metriske tensoren er et matematisk bilde av noen av de viktigste egenskapene til referansesystemet for oss. De egenskapene som absolutt karakteriserer strukturen til selve referansesystemet lar oss bestemme hvor "bra" det er, hvor forskjellig det er fra idealet - treghetsrammen. Så GTR bruker den metriske tensoren nøyaktig som et slikt bilde. Hvordan et bilde av måleinstrumenter fordelt i et referanseområde, som muligens endrer orientering fra punkt til punkt, men har overalt samme norm, felles for alle referansevektorer. Metrikken, betraktet som en skalar, er denne normen, størrelsen på skalaen. Metrikken som en tensor lar oss vurdere vilkårlig relativ bevegelse i forhold til hverandre av alle skalaer som utgjør referansekroppen. Og generell relativitetsteori beskriver en situasjon der det i rom-tid er mulig å ha en slik referanse, reell eller imaginær.
Dette synet på beregninger er absolutt riktig. Dessuten er den også produktiv, siden den umiddelbart fokuserer oppmerksomheten på de gjenværende avtalene i GTR. Faktisk har vi tillatt referanserammer der skalaer på forskjellige punkter kan orienteres forskjellig (i en firdimensjonal verden inkluderer orientering også bevegelse). Og vi krever fortsatt at noen absolutte karakteristikk av skalaen, dens norm (intervall) forblir den samme. Følgelig er uttalelsen om generell relativitet om at den tok hensyn til alle mulige referansesystemer overdreven. Det er ikke så generelt, relativitetsteori i denne teorien.
© Gavryusev V.G.
Materialer publisert på nettstedet kan brukes med forbehold om henvisningsregler.
1. Plass av isolerte punkter.
Vilkårlig sett og
2. Settet av reelle tall med avstand danner et metrisk rom.
3. Settet med ordnede grupper av reelle tall c kalles dimensjonalt aritmetisk euklidisk rom.
Bevis.
For å bevise at et rom er metrisk, er det nødvendig å sjekke tilfredsstillelsen til aksiomene.
La , , .
, , …, , dvs. .
A3. La oss sjekke om trekantens aksiom holder. La oss skrive aksiomet i formen:
Forutsatt at vi får og .
For å bevise denne ulikheten brukes Cauchy – Bunyakovsky-ulikheten.
Egentlig,
Følgelig er trekantens aksiom oppfylt, og settet som vurderes med en gitt metrikk er et metrisk rom.
Q.E.D.
4. Settet med ordnede grupper av reelle tall med . Dette metriske rommet er merket med .
5. Settet med ordnede grupper av reelle tall med . Dette metriske rommet er merket med .
Eksemplene 3, 4 og 5 viser at samme beholdning av poeng kan måles på forskjellige måter.
6. Settet av alle kontinuerlige reelle funksjoner definert på et segment med avstand . Dette metriske rommet er betegnet som settet med punkter i selve rommet: . Spesielt skriver de i stedet for .
7. Gjennom betegner det metriske rommet, hvis punkt er alle mulige sekvenser av reelle tall som tilfredsstiller betingelsen, og metrikken er definert av formelen.
Bevis.
Siden gir det mening for alle. De. Serien konvergerer hvis og .
La oss vise hva som tilfredsstiller aksiomene.
Aksiomer 1, 2 er åpenbare. Trekantens aksiom vil ha formen:
Alle serier er konvergerende.
Ulikheten gjelder for alle (se eksempel 3). Når vi oppnår ulikheten for .
Q.E.D.
8. Vurder settet med alle funksjoner som er kontinuerlige på intervallet og . Et slikt metrisk rom er betegnet og kalt rommet for kontinuerlige funksjoner med en kvadratisk metrikk.
9. Betrakt settet av alle avgrensede sekvenser av reelle tall. La oss definere. Dette metriske rommet er merket med .
10. Settet med ordnede grupper av reelle tall med avstand , hvor er et hvilket som helst fast tall, er et metrisk mellomrom, betegnet med .
Metrikken som vurderes i dette eksemplet blir til den euklidiske metrikken for (se eksempel 3) og til metrikken i eksempel 4 for . Det kan vises at metrikken (se eksempel 5) er et begrensende tilfelle.
11. Vurder alle mulige sekvenser av reelle tall som tilfredsstiller betingelsen , hvor er et fast tall, og avstanden bestemmes av formelen . Vi har et metrisk rom.
12. La være settet av alle uendelige sekvenser av komplekse tall. La oss definere. Vi har et metrisk rom.
Definisjon: La være et metrisk mellomrom og være en hvilken som helst delmengde av . Så med den samme funksjonen, som nå er definert for, kalles et metrisk rom underrom rom.
Enkle konsepter
La oss betegne det metriske rommet med .
Definisjon: En sekvens som tilhører et metrisk rom kalles fundamental, hvis hver tilsvarer et tall slik at ulikheten .
Definisjon: En sekvens som tilhører et metrisk rom kalles konvergent, hvis det eksisterer slik at hver tilsvarer et tall slik at ulikheten gjelder for alle. Da heter det grense sekvenser.
Teorem: Hvis en sekvens har en grense, er den unik.
Bevis.
Faktisk, hvis og , da . Siden og , da , dvs. .
Teoremet er bevist.
Definisjon: Full metrisk plass er det metriske rommet der hver grunnleggende sekvens konvergerer.
Teorem: Metrikken som funksjon av to argumenter er en kontinuerlig funksjon, dvs. hvis og , da .
Bevis:
La , , , .
Ved trekanten ulikhet:
Fra (1) får vi:
Fra (2) får vi:
Fordi ,
La oss betegne .
I metrisk plass man kan vurdere ulike sett, områder av punkter, grensepunkter og andre konsepter innen klassisk analyse.
Definisjon: Under omgivelser punkter betyr et sett som inneholder en åpen kule med radius med sentrum i punktet, dvs.
Definisjon: Poenget heter grensepunkt for et sett hvis et område av et punkt inneholder minst ett punkt fra , forskjellig fra .
Definisjon: Poenget heter indre punkt satt hvis det er inkludert i sammen med noe av sitt nabolag.
Definisjon: Settet heter åpen, hvis den kun består av interne punkter. Settet heter lukket i seg selv hvis den inneholder alle sine grensepunkter.
Metrisk plass er stengt.
Underrom kan ikke være lukkede undersett.
Hvis vi legger til alle grensepunktene, får vi avslutning.
Definisjon: Et sett som ligger i et metrisk rom kalles lukket, hvis den faller sammen med lukkingen: .
Et lukket sett er det minste lukkede settet som inneholder .
Definisjon: La . Settet heter stramt i , hvis . Settet heter tett overalt, hvis . Settet heter ingen steder tett inn, hvis uansett hvilken ball er, er det en annen ball fri fra settets punkter.
Definisjon: Et mellomrom kalles separerbart hvis det inneholder et overalt tett tellbart sett.
I matematisk analyse spilles en viktig rolle av egenskapen til fullstendighet av talllinjen, det vil si det faktum at hver grunnleggende sekvens av reelle tall konvergerer til en viss grense (Cauchy-konvergenskriterium).
Talllinjen fungerer som et eksempel på et komplett metrisk rom.
Mellomrommene til isolerte punkter, , , , , , er komplette metriske mellomrom.
Rom ikke ferdig.
Analysen bruker mye den såkalte lemma på nestede segmenter :
La være et system av nestede segmenter. Så for segmentet vi har .
Dette betyr at alle segmenter fra settet har et felles punkt.
I teorien om metriske rom, spilles en lignende rolle av teoremet på innebygde kuler.
Teorem: For at et metrisk rom skal være komplett, er det nødvendig og tilstrekkelig at hver sekvens av kuler innebygd i hverandre, hvis radier , har et ikke-tomt skjæringspunkt.
Bevis:
Nødvendighet:
La være et komplett metrisk rom og la være en sekvens av lukkede baller innebygd i hverandre.
La være radius og a være midten av ballen.
Rekkefølgen av sentre er grunnleggende, siden kl , og kl . Siden - komplett, da . La oss si det da. Faktisk inneholder ballen alle punktene i sekvensen, med mulig unntak av punktene . Dermed er punktet berøringspunktet (grensepunktet) for hver ball. Men siden er et lukket sett, da .
Tilstrekkelighet:
La være en grunnleggende sekvens. La oss bevise at det har en grense. På grunn av fundamentalitet kan vi velge et punkt i sekvensen slik at for alle . La oss ta punktet som sentrum av en lukket ball med radius. La oss betegne denne ballen. , innebygd i hverandre, og ballen - en lukket kule med radius inneholder et visst punkt ved fullføring
Før Riemann, Lobachevsky, Einstein og noen andre kamerater ble geometri bygget fra fly, usynlige punkter og rette linjer uendelige i begge retninger. Tiden svevde stolt over den flate tredimensjonale verdenen, oppfattet av oss som en viss prosess, kvantifisert for bekvemmelighets skyld til hjerteslag og tikk av en klokke. Alt er kjent, rett på sak, forståelig, krefter virker, tre koordinater i rommet kan bestemmes hvor som helst – bare kjør inn en knagg.
Slutten på idyllen kom med ankomsten av matematikere som utforsket flerdimensjonale rom på tuppen av pennen. De bygde komplekse objekter og systemer med flere koordinater som var utenkelige for det menneskelige øyet og sansene, for eksempel den berømte firdimensjonale kuben, Mobius-stripen og så videre. Det ble etterhvert klart at det imaginære rommet ikke nødvendigvis trenger å bestå av plan og rette linjer med en prosesstid, det kan for eksempel bestå av et flatt ark rullet inn i et uregelmessig formet rør, hvor tiden er lengden på den; aksen tegnet i midten av røret. Et punkt plassert i et slikt "feil" rom vil aldri igjen ha de tre koordinatene vi er vant til, siden en drevet pinne ikke vil hjelpe med å måle dem. Posisjonen til et gitt punkt i ikke-euklidisk rom må representeres som en hel rekke tall, som også kontinuerlig endres i samsvar med visse regler. Selve reglene i hvert fiksjonsrom er forskjellige. En slik rekke av tall kalles en tensor, den lagrer data om punkter i rommet omtrent i den formen som det velkjente leketøyet "bilde av spiker" lagrer et bilde: lengden på hver stang er en vektor som peker til et punkt langs; en av koordinatene, deres kombinasjon gir ett bilde av det, det eneste.
Tensorer er komplekse objekter, men de har en ting til felles - en tensor som en rekke stavvektorer kan "skjæres over" ved å definere den såkalte tensormatrisen - en todimensjonal tabell der det, i stedet for vanlige tall, er formler som beskriver reglene for transformasjonen. En matrise er et enkelt objekt, operasjonene som ble godt utviklet for århundrer siden. Hodene til matematikere begynte å jobbe hardt, de erstattet en rekke formler og konstruerte tensorer for punkter i de mest utenkelige rom. Til slutt, gjennom innsatsen til Minkowski, Riemann, Lorentz og Einstein, ble de enkleste tensorene oppdaget som med tilstrekkelig nøyaktighet beskriver det tredimensjonale euklidiske rommet og tidsprosessen vi oppfatter. Matrisene deres kalles metrikker.
Deretter ble det forstått at på grunn av konstanten til lyshastigheten i vakuum, tatt som grunnlag av Einstein, blir Minkowski-metrikken uanvendelig ved veldig store avstander mellom punkter, eller ved veldig høye gravitasjonsinteraksjoner. Matematikersjefene begynte å jobbe igjen, nå i allianse med fysikere som lette etter eksperimentell bekreftelse av teorier. Slik oppsto for eksempel Schwarzschild-metrikken, som beskriver vår verden gjennom multiplikasjon av matriser av tensorer i et todimensjonalt rektangulært plan og en todimensjonal sfære (det er også en kjent sirkel, men i form av en hele plassen). Schwarzschild-metrikken gjorde det mulig å beskrive hvorfor vi oppfatter bevegelsen til objekter i himmelsfæren på denne spesielle måten og ikke på annen måte. Tid i den er en konstant verdi(!), introdusert separat i hver beregning, og avstanden fra et punkt til en observatør er faktisk en slags vektor som beskriver omfanget av rom (tid) mellom to ikke objekter, men hendelser.
