Pod signálom energie IC) pochopiť veľkosť

Ak má signál konečné trvanie T, tie. nerovná sa nule za určité časové obdobie [-T/ 2, T/ 2], potom jeho energia

Napíšme výraz pre energiu signálu pomocou vzorca (2.15):

Kde

Výsledná rovnosť je tzv Parsevalova rovnosť. Určuje energiu signálu pomocou časovej funkcie alebo spektrálnej hustoty energie, ktorá sa rovná |5(/0))| 2. Spektrálna hustota energie je tiež tzv energetické spektrum.

Uvažujme signál, ktorý existuje počas obmedzeného časového intervalu. Pre takýto signál platí Parsevalova rovnosť. teda

Rozdeľme ľavú a pravú stranu rovnosti na časový interval rovný Γ a nasmerujme tento interval do nekonečna:

S nárastom T energia nepretržitých signálov sa zvyšuje,

pomer však môže smerovať k určitej hranici. Táto hranica sa nazýva výkonová spektrálna hustota C(co). Rozmer spektrálnej hustoty výkonu: [V 2 DHz].

Autokorelačná funkcia

Funkcia autokorelácie signálu A(?) je určený týmto integrálnym výrazom:

kde m je argument definujúci funkciu ja) a majúci rozmer času; u(? + t) je pôvodný signál, posunutý v čase o hodnotu -t.

Autokorelačná funkcia má nasledujúce vlastnosti.

1. Hodnota autokorelačnej funkcie s posunom t = O sa rovná energii signálu E:

2. Autokorelačná funkcia pre posuny t F 0 menej energie signálu:

3. Autokorelačná funkcia je párna funkcia, t.j.

Overme si platnosť vlastností 2 a 3 na príklade.

Príklad 2.6. Vypočítajte autokorelačné funkcie signálov: video signál znázornený na obr. 2.7, i a rádiový signál s rovnakou amplitúdou a trvaním. Nosná frekvencia rádiového signálu je sch, a počiatočná fáza je 0.

Riešenie. Vyriešme prvý problém graficky. Autokorelačná funkcia je určená integrálom súčinu funkcie A(?) a jeho časovo posunutá kópia. Môžeme nájsť odchýlku video signálu od rovnice? + m = 0. Graf funkcie m(? + t) je znázornené na obr. 2,7, b. Plocha určená grafom súčinu m(?)m(? + t) (obr. 2.7, Obr. V), rovná

Funkcia D(t) je určená rovnicou priamky (obr. 2.7, Obr. G). Funkcia má maximum, ak je hodnota argumentu m = 0, a rovná sa 0, ak m = m u. Pre ostatné hodnoty argumentu /?(t)

Na overenie platnosti vlastnosti 3 podobne vypočítame funkciu pre záporné hodnoty m:

Ryža. 2.7.

video pulz:

A- obdĺžnikový obrazový impulz; b- obdĺžnikový impulz oneskorený v čase; V - súčin impulzov; G - autokorelačná funkcia

Konečný výraz pre funkciu autokorelácie

Funkcia je znázornená na obr. 2,7, G a má trojuholníkový vzhľad.

Vypočítajme autokorelačnú funkciu rádiového signálu a umiestnime ho symetricky okolo vertikálnej osi. Rádiový signál:

Nahradením hodnôt signálu a jeho posunutej kópie do vzorca pre autokorelačnú funkciu /?(t) dostaneme

Výraz pre autokorelačnú funkciu rádiového impulzu pozostáva z dvoch pojmov. Prvý z nich je určený súčinom trojuholníkovej funkcie a harmonického signálu. Na výstupe prispôsobeného filtra je tento výraz implementovaný vo forme rádiového impulzu v tvare diamantu. Druhý člen je určený súčinom trojuholníkovej funkcie a funkcií (vtd^/lr, umiestnených v bodoch m = +m u. Hodnoty funkcií (tmx)/:*:, ktoré majú výraznú vplyv na druhý člen autokorelačnej funkcie, veľmi rýchlo klesajú, keď sa argument m zmení z -t na oo az t na -°o Riešenie rovnice.

môžete nájsť intervaly oneskorenia, v ktorých sú hodnoty funkcií (vtls)/;*; stále ovplyvňujú správanie funkcie /?(t). Pre kladné hodnoty oneskorenia

kde 7o je perióda harmonického signálu.

Interval pre záporné hodnoty oneskorenia sa nájde podobne.

Keďže vplyv druhého členu autokorelačnej funkcie je obmedzený na veľmi malé (v porovnaní s trvaním rádiových impulzov t u) intervaly 70/2, v rámci ktorých sú hodnoty trojuholníkovej funkcie veľmi malé, druhý člen autokorelačná funkcia rádiového impulzu môže byť zanedbaná.

Odhaľme súvislosť medzi autokorelačnou funkciou #(t) a spektrálnou energetickou hustotou signálu |5(/co)| 2. K tomu vyjadrujeme časovo posunutý signál u(1b + t) prostredníctvom svojej spektrálnej hustoty 5(/co):

Tento výraz dosadíme do výrazu (2.21). V dôsledku toho dostaneme

Je tiež ľahké overiť platnosť rovnosti

Vydeľme obe strany rovnosti (2.23) časovým intervalom T a nasmerujme hodnotu T do nekonečna:

Berúc do úvahy vzorec (2.20), prepíšeme výsledný výraz:

Kde
- hranica pomeru autokorelačnej funkcie časovo obmedzeného signálu k hodnote tohto času a kedy smeruje k nekonečnu. Ak tento limit existuje, potom je určený inverznou Fourierovou transformáciou spektrálnej hustoty výkonu signálu.

Zovšeobecnenie pojmu „autokorelačná funkcia“ je funkcia vzájomnej korelácie,čo je skalárny súčin dvoch signálov:

Uvažujme o základných vlastnostiach funkcie vzájomnej korelácie.

1. Preusporiadanie faktorov pod znamienkom integrálu zmení znamienko argumentu funkcie vzájomnej korelácie:

Vyššie uvedené transformácie používajú náhradu t+ t = X.

• 2. Krížová korelačná funkcia na rozdiel od autokorelačnej funkcie nie je ani vzhľadom na argument t.
• 3. Krížová korelačná funkcia je určená inverznou Fourierovou transformáciou súčinu spektrálnych hustôt signálov. u(t), v(t):

Tento vzorec možno odvodiť podobne ako vzorec (2.22).

Funkcia krížovej korelácie medzi periodicky sa opakujúcim signálom a neperiodickým signálom

signál v(t) = Uq(?)

Kde R(t) - autokorelačná funkcia neperiodického signálu u 0 (t).

Výsledný výraz sa rovná súčtu dvoch integrálov. Pri posune rovnajúcom sa nule sa prvý integrál rovná nule a druhý sa rovná energii signálu. S posunom rovným perióde signálu sa prvý integrál rovná energii signálu a druhý sa rovná nule. Každá hodnota funkcie s inými posunmi sa rovná súčtu hodnôt autokorelačných funkcií neperiodického signálu, vzájomne posunutých o jednu periódu. Okrem toho je funkcia vzájomnej korelácie periodickou funkciou, ktorá spĺňa rovnicu

Krížová korelačná funkcia Ja alebo> ( r) medzi signálom u(t) a signál

rovná sa - trvanie signálu v(t).

Skutočne, vzhľadom na to, že perióda signálu u(t) je rovnaký T A

krížová korelačná funkcia kde

Výpočet limity funkcie (2 n + 1)7? m Mo (t) pri P-> definujte výraz pre autokorelačnú funkciu periodického signálu:

Funkčný rozmer: [V 2 /Hz].

Funkčné hodnoty pri nulovom posune a iných posunoch, pre ktoré Lts Mo(T) F 0 sa rovná nekonečnu. Z tohto dôvodu použitie posledného výrazu ako charakteristiky periodického signálu stráca svoj význam.

Rozdeľme posledný výraz na interval rovný (2 P + 1 )T. V dôsledku toho dostaneme funkciu

keďže vzhľadom na periodicitu funkcie – t + T) = - T).

Výsledný vzorec určuje funkciu IN( r) ako hranica pomeru autokorelačnej funkcie signálu existujúceho v časovom intervale (2 n + 1 )T, k tomuto intervalu a jeho tendencii k nekonečnu. Tento limit pre periodicky sa opakujúci signál sa nazýva autokorelačná funkcia periodického signálu. Rozmer tejto funkcie je: [AT 2].

Priama Fourierova transformácia jednej periódy autokorelačnej funkcie periodického signálu určuje výkonovú spektrálnu hustotu, ktorá je spojitou funkciou frekvencie. Z tejto hustoty pomocou vzorca (2.17) možno nájsť výkonová spektrálna hustota periodickej autokorelačnej funkcie signálu, ktorá je určená pre diskrétne frekvenčné hodnoty:

kde 0)1 = 2 p/t.

Ak je autokorelačná funkcia napísaná ako Fourierov rad v trigonometrickej forme, potom výraz pre jej spektrálnu hustotu

Príklad 2.7. Vypočítajte periodickú autokorelačnú funkciu signálu i(f) = Absh SI. Pomocou nájdenej funkcie, obmedzenej na jednu periódu, určite výkonovú spektrálnu hustotu.

Riešenie. Dosadením daného signálu do výrazu (2.26) dostaneme výraz pre periodickú autokorelačnú funkciu:

Výsledný výraz dosadíme do vzorca (2.24) a zistíme spektrálnu hustotu výkonu:

Príklad 2.8. Pre periodickú normalizovanú autokorelačnú funkciu signálu podobného šumu (M-sekvencia s periódou N= 1023) vypočítajte výkonovú spektrálnu hustotu. (Periodická funkcia pre sekvenciu kratšej dĺžky (IV= 15) je znázornený na obr. 3.39.)

Riešenie. Za relatívne dlhé obdobie LG = 1023 hodnôt autokorelačnej funkcie v intervale T- To > m > To, kde To je trvanie impulzu sekvencie podobnej šumu, budeme ho považovať za rovné nule. V tomto prípade je autokorelačná funkcia určená periodickým opakovaním s bodkou T sekvencia trojuholníkových impulzov. Základňa každého trojuholníka je 2 to a jeho výška je 1. Rovnica definujúca autokorelačnú funkciu v rámci jednej periódy je IN( m) = 1 - |m|/ho- Berúc do úvahy paritu tejto funkcie, určíme koeficienty Fourierovho radu:

Pri výpočte integrálu sa použil vzorec

Nahradenie vypočítaných koeficientov do vzorca (2.27), prehľadávanie

Výkonová spektrálna hustota periodickej autokorelačnej funkcie sa rovná váženému súčtu nekonečného počtu delta funkcií. Váhové faktory sú určené druhou mocninou funkcie (ethx)/:":, vynásobenej konštantným koeficientom 2i(potom /T).

Korelačné funkcie digitálnych signálov súvisia s korelačnými funkciami sekvencií symbolov. Pre postupnosť kódov (pozri § 1.3) konečného čísla N

binárne symboly sa autokorelačná funkcia zapíše ako

Kde - binárne znaky rovné 0 alebo 1 alebo znaky rovné -1, 1; d= O, 1, 2, ..., N - .

Postupnosti znakov môžu byť deterministické alebo náhodné. Pri prenose informácií je charakteristickou vlastnosťou postupnosti symbolov ich náhodnosť. Hodnoty autokorelačnej funkcie (pre posuny nerovnajúce sa nule), vypočítané z vopred zaznamenanej náhodnej sekvencie konečnej dĺžky, sú tiež náhodné.

Autokorelačné funkcie deterministických sekvencií, ktoré sa používajú na synchronizáciu a tiež ako nosiče diskrétnych správ, sú deterministické funkcie.

Volajú sa signály skonštruované pomocou kódov alebo ich kódových sekvencií kódované signály.

Väčšina vlastností autokorelačnej funkcie kódovej sekvencie sa zhoduje s vlastnosťami autokorelačnej funkcie signálu diskutovaného vyššie.

Pri posune odrážky dosiahne autokorelačná funkcia sekvencie kódu maximum, ktoré sa rovná

Ak sa symboly rovnajú -1, 1, potom r(0) = N.

Hodnoty autokorelačnej funkcie pre ostatné posuny sú menšie ako r(0).

Autokorelačná funkcia kódovej sekvencie je párna funkcia.

Zovšeobecnením autokorelačnej funkcie je krížová korelačná funkcia. Pre sekvencie kódov rovnakej dĺžky táto funkcia

Kde 2 } 0 6/, - symboly prvej a druhej postupnosti.

Mnoho vlastností funkcie g 12 (d) sa zhodujú s vlastnosťami vzájomnej korelačnej funkcie vyššie uvažovaných signálov. Ak funkcia r^(d), ja Ф pre ľubovoľný pár kódov s posunom d = O sa rovná nule, potom sa takéto kódy volajú ortogonálne. Stručný popis niektorých kódov používaných v komunikačných systémoch je uvedený v prílohách 2-4.

Zavolá sa funkcia vzájomnej korelácie medzi kódovou sekvenciou a periodicky sa opakujúcou sekvenciou tej istej sekvencie periodická autokorelačná funkcia sekvencie kódov. Výraz pre funkciu vyplýva z výrazov (2.25), (2.26):

Kde g(d) - neperiodická autokorelačná funkcia kódovej sekvencie; d - posun hodnoty medzi sekvenciami.

Dosaďte do výsledného vzorca výrazy autokorelačných funkcií:

Kde a/g, a^+c - prvky sekvencie kódov.

Periodická autokorelačná funkcia kódovej sekvencie sa rovná funkcii krížovej korelácie vypočítanej pre kódovú sekvenciu a cyklicky posunuté symboly tejto sekvencie. Cyklicky posunuté kódové sekvencie získané z pôvodnej sekvencie a 0 = a 0 ,a ( ,a 2 , ..., a m_b sú uvedené nižšie. Postupnosť kódu A ( získané v dôsledku posunutia pôvodnej sekvencie 0 posuňte jeden znak doprava a posuňte posledný znak A dm na začiatok posunutej sekvencie. Zostávajúce sekvencie boli získané podobne:

Príklad 2.9. Vypočítajte autokoreláciu a periodickú autokorelačnú funkciu kódovaného signálu (obr. 2.8, A)

kde a 0 (O - obdĺžnikový impulz s amplitúdou A a trvanie t a.

Tento signál je skonštruovaný z pravouhlých impulzov, ktorých znamienko je určené váhovými koeficientmi: a 0 = ,A. = 1, a 2= -1 a ich počet N= 3. Trvanie signálu sa rovná Zt a.

Riešenie. Dosadením výrazu pre signál do vzorca (2.21) dostaneme

Zmeňme premennú t - kt n na X:

Označme: & - m = - a nahraďme diskrétne premenné &, T na premenné k, c. V dôsledku toho dostaneme

Graf autokorelačnej funkcie pre daný signál je na obr. 2,8, b. Táto funkcia závisí od funkcie autokorelácie /? 0 (t) pravouhlého impulzu a hodnoty autokorelačnej funkcie r(

Ryža. 2.8. Autokorelačná funkcia kódovaného signálu: A- kódovaný signál; 6 - autokorelačná funkcia signálu; V- autokorelačná funkcia periodického signálu

Vypočítajme periodickú autokorelačnú funkciu pomocou autokorelačnej funkcie vypočítanej vyššie, získané hodnoty autokorelačnej funkcie sekvencie kódu a vzorca (2.28).

Periodická autokorelačná funkcia

Danú hodnotu dosadíme N= 3 do výsledného vzorca:

Berúc do úvahy hodnoty autokorelačnej funkcie kódovej sekvencie K+Z) = 0, g(+ 2) = -1, r(+1) = O, KO) = 3 zapíšeme konečný výraz pre jednu periódu periodickej autokorelačnej funkcie signálu:

Graf funkcie je znázornený na obr. 2,8, V.

Odhad výkonovej spektrálnej hustoty predstavuje dobre známy problém pre náhodné procesy. Príklady náhodných procesov zahŕňajú šum, ako aj signály, ktoré prenášajú informácie. Zvyčajne je potrebné nájsť štatisticky stabilný odhad. Analýze signálu sa podrobne venuje kurz Digitálne spracovanie signálu. Prvotné informácie sú uvedené v.

Pre signály so známymi štatistickými charakteristikami je možné určiť spektrálne zloženie z konečného intervalu tohto signálu. Ak nie sú štatistické charakteristiky signálu známe, zo segmentu signálu možno získať len odhad jeho spektra. Rôzne metódy používajú rôzne predpoklady, a preto vytvárajú rôzne odhady.

Pri výbere odhadu sa predpokladá, že vo všeobecnom prípade je analyzovaný signál náhodný proces. A je potrebné zvoliť nezaujatý odhad s nízkou disperziou, ktorý umožňuje spriemerovať spektrum signálu. Skreslenie je rozdiel medzi priemerným odhadom a skutočnou hodnotou veličiny. Nezaujatý odhad je odhad s nulovou odchýlkou. Odhad s malým rozptylom dobre lokalizuje požadované veličiny, t.j. hustota pravdepodobnosti je sústredená okolo strednej hodnoty. Vhodné je dôsledné hodnotenie, t.j. odhad, ktorý sa pri zväčšovaní veľkosti vzorky približuje k skutočnej hodnote (vychýlenie a rozptyl majú tendenciu k nule). Existujú parametrické odhady, ktoré využívajú iba informácie o samotnom signáli a neparametrické odhady, ktoré využívajú štatistický model náhodného signálu a vyberajú parametre tohto modelu.

Pri odhadovaní náhodných procesov je bežné používanie korelačných funkcií.

Pre ergodický proces je možné určiť štatistické parametre procesu spriemerovaním za jednu implementáciu.

Pre stacionárny náhodný proces korelačná funkcia R x (t) závisí od časového intervalu, pre ktorý je určená. Táto veličina charakterizuje vzťah medzi hodnotami x(t) oddelenými intervalom t. Čím pomalšie klesá R(t), tým dlhší je interval, počas ktorého sa pozoruje štatistický vzťah medzi hodnotami náhodného procesu.

kde je matematické očakávanie x(t).

Vzťah medzi korelačnou funkciou R(t) a výkonovou spektrálnou hustotou W(w) pre náhodný proces je určený Wiener-Khinchinovou vetou

Pre diskrétne procesy Wiener-Khinchinova veta vytvára spojenie medzi spektrom diskrétneho náhodného procesu W(w) a jeho korelačnou funkciou R x (n)

W(w)= R x (n) exp(-j w n T)

Na odhad energie signálu v časovej a frekvenčnej oblasti sa používa Parsevalova rovnosť

Jedným z bežných spôsobov, ako získať odhad spektrálnej hustoty, je použiť metódu periodogramu.

Periodogram.Pri tejto metóde sa pre signál x(n) vykoná diskrétna Fourierova transformácia, špecifikovaná v diskrétnych bodoch vzorky dĺžky N vzoriek a jej štatistické spriemerovanie. Skutočný výpočet spektra X(k) sa vykonáva iba pri konečnom počte frekvenčných bodov N. Použije sa rýchla Fourierova transformácia (FFT). Výkonová spektrálna hustota na vzorku vzorky sa vypočíta:

P xx (X k) =|X(k)| 2/N, X(k)=, k=0,1,…,N-l.

Na získanie štatisticky stabilného odhadu sa dostupné údaje rozdelia do prekrývajúcich sa vzoriek, po ktorých nasleduje spriemerovanie spektier získaných pre každú vzorku. Je špecifikovaný počet vzoriek na vzorku N a posun začiatku každej nasledujúcej vzorky vzhľadom na začiatok predchádzajúcej Nt. Čím menší je počet vzoriek vo vzorke, tým viac vzoriek a menší rozptyl majú odhady. Ale keďže dĺžka vzorky N súvisí s frekvenčným rozlíšením (2.4), zníženie dĺžky vzorky vedie k zníženiu frekvenčného rozlíšenia.

Signál sa teda pozerá cez okno a údaje, ktoré nespadajú do okna, sa považujú za nulové. Konečný signál x(n) pozostávajúci z N vzoriek je zvyčajne reprezentovaný ako výsledok násobenia signálu, ktorý je v čase nekonečný. (n) do obdĺžnikového okna s konečnou dĺžkou w R (n):

x(n) = (n)∙w R (n),

a spojité spektrum X N (f) pozorovaných signálov x(n) je definované ako konvolúcia Fourierových obrazov X(f), W R (f) signálu nekonečného v čase (n)∙a okná w R (n)

XN(f)=X(f)*WR(f)=

Spektrum súvislého pravouhlého okna (rect) má tvar integrálu sínus sinc(x)=sin(x)/x. Obsahuje hlavný lalok a niekoľko bočných lalokov, z ktorých najväčší je približne 13 dB pod hlavným vrcholom (pozri obr. 15).

Fourierov obraz (spektrum) diskrétnej sekvencie získaný N-bodovým vzorkovaním súvislého pravouhlého okna je na obr. Dá sa vypočítať súčtom posunutých integrálnych sínusov (2.9), výsledkom čoho je Dirichletovo jadro

Ryža. 32. Spektrum diskrétneho obdĺžnikového okna

Zatiaľ čo signál s nekonečnou dĺžkou sústredí svoj výkon presne na diskrétnu frekvenciu fk, vzorkovaný signál so štvorcovými vlnami má rozložené výkonové spektrum. Čím je vzorka kratšia, tým je spektrum viac rozložené.

Pri spektrálnej analýze sa údaje vážia pomocou funkcií okna, čím sa znižuje vplyv bočných „lalokov“ na spektrálne odhady.

Na detekciu dvoch harmonických f 1 a f 2 s blízkymi frekvenciami je potrebné, aby pre časové okno T bola šírka hlavného „laloku“ Df -3 ≈ Df L =0 =1/T, určená na hodnote -3 dB, je menší ako rozdiel v požadovaných frekvenciách

Df=f1-f2 > Df-3

Šírka časového okna T súvisí so vzorkovacou frekvenciou f s a počtom vzorkovaných vzoriek podľa vzorca (2.4).

Nástroje na harmonickú analýzu. Na štúdium signálov je veľmi vhodné použiť balík MATLAB, najmä jeho aplikáciu (Toolbox) Signal Processing.

Upravené periodogramy používať neobdĺžnikové funkcie okien, ktoré znižujú Gibbsov efekt. Príkladom je použitie Hammingovho okna. Zároveň sa však šírka hlavného laloku spektrogramu približne zdvojnásobí. Okno Kaiser bolo o niečo viac optimalizované. Zväčšenie šírky hlavných lalokov pri vytváraní dolnopriepustných filtrov vedie k zväčšeniu prechodového pásma (medzi pásmom priepustu a pásma).

Welchova bodovacia funkcia. Metóda pozostáva z rozdelenia sekvenčných časových údajov do segmentov (možno sa prekrývajúcich), následného spracovania každého segmentu a následného odhadu spektra spriemerovaním výsledkov spracovania segmentov. Na zlepšenie odhadu možno použiť iné ako pravouhlé funkcie okna, ako napríklad Hammingovo okno. Zvýšením počtu segmentov sa zníži rozptyl, ale zároveň sa zníži frekvenčné rozlíšenie metódy. Metóda poskytuje dobré výsledky s malým prebytkom užitočného signálu nad šumom a v praxi sa pomerne často používa.

Obrázok 33 zobrazuje odhady harmonického zloženia pre dáta obsahujúce úzkopásmové užitočné signály a biely šum s rôznymi vzorkami (N=100, N=67) a použitím rôznych metód.

Ryža. 33. Odhad harmonických signálov pre 1024 bodovú FFT transformáciu

Parametrické metódy používať autoregresívne (AR) modely. Metódy konštruujú modely filtrov a používajú ich na odhad spektier signálu. Všetky metódy v prítomnosti šumu v signáli poskytujú skreslené odhady. Metódy sú určené na spracovanie signálov s harmonickými zložkami na pozadí šumu. Poradie metódy (filtra) je nastavené na dvojnásobok počtu harmonických prítomných v signáli. Bolo navrhnutých niekoľko parametrických metód.

Burgova metóda poskytuje vysoké frekvenčné rozlíšenie pre krátke vzorky. Pri veľkom poradí filtrov sú spektrálne vrcholy rozdelené. Poloha spektrálnych vrcholov závisí od počiatočných harmonických fáz.

Kovariančná metóda umožňuje odhadnúť spektrum signálu obsahujúceho súčet harmonických zložiek.

Metóda Yule-Walker poskytuje dobré výsledky na dlhých vzorkách a neodporúča sa pre krátke vzorky.

Korelačné metódy. Metódy MISIC (Multiple Signal Classification) a EV (eigenvectors) prinášajú výsledky vo forme pseudospektra. Metódy sú založené na analýze vektorov signálovej korelačnej matice. Tieto metódy poskytujú o niečo lepšie frekvenčné rozlíšenie ako autokorelačné metódy.

Spektrálna hustota krížového výkonu (priečne výkonové spektrum) dvoch realizácií a stacionárnych ergodických náhodných procesov a je definovaný ako priama Fourierova transformácia cez ich vzájomnú kovariančnú funkciu

alebo, berúc do úvahy vzťah medzi kruhovými a cyklickými frekvenciami,

Inverzná Fourierova transformácia spája vzájomnú kovariančnú funkciu a výkonovú spektrálnu hustotu:

Podobne ako (1.32), aj (1.33) uvádzame výkonová spektrálna hustota (výkonové spektrum) náhodný proces

Funkcia má paritnú vlastnosť:

Pre vzájomnú spektrálnu hustotu platí nasledujúci vzťah:

kde je komplex funkcií konjugovaný s .

Vyššie uvedené vzorce pre spektrálne hustoty sú definované pre kladné aj záporné frekvencie a nazývajú sa obojstranné spektrálne hustoty . Sú vhodné na analytické štúdium systémov a signálov. V praxi používajú spektrálne hustoty definované len pre nezáporné frekvencie a tzv jednostranný (Obrázok 1.14):

Obrázok 1.14 – Jednostranné a obojstranné

spektrálne hustoty

Odvoďme výraz týkajúci sa jednostrannej spektrálnej hustoty stacionárneho SP s jeho kovariančnou funkciou:

Zoberme do úvahy paritnú vlastnosť pre kovariančnú funkciu stacionárneho SP a kosínusovú funkciu, nepárnu paritnú vlastnosť pre sínusovú funkciu, ako aj symetriu integračných limitov. V dôsledku toho sa druhý integrál vo výraze získanom vyššie stane nulou a v prvom integráli je možné znížiť limity integrácie na polovicu, čím sa koeficient zdvojnásobí:

Je zrejmé, že výkonová spektrálna hustota náhodného procesu je reálna funkcia.

Podobne môžete získať inverzný vzťah:

Z výrazu (1.42) vyplýva, že

To znamená, že celková plocha pod jednostranným grafom spektrálnej hustoty sa rovná strednej štvorci náhodného procesu. Inými slovami, jednostranná spektrálna hustota sa interpretuje ako distribúcia stredného štvorca procesu cez frekvencie.

Plocha pod jednostranným grafom hustoty, uzavretá medzi dvoma ľubovoľnými hodnotami frekvencie a , sa rovná strednej štvorci procesu v tomto spektrálnom frekvenčnom pásme (obrázok 1.15):

Obrázok 1.15 – Vlastnosť spektrálnej hustoty

Spektrálna hustota krížového výkonu je komplexná veličina, takže ju možno vyjadriť v exponenciálnej forme zápisom modul A fázový uhol :

kde je modul;

– fázový uhol;

, sú reálnou a imaginárnou časťou funkcie, resp.

Modul vzájomnej spektrálnej hustoty je zahrnutý do dôležitej nerovnosti

Táto nerovnosť nám umožňuje určiť koherenčná funkcia (kvadratická koherencia), ktorá je podobná štvorcovej normalizovanej korelačnej funkcii:

Druhým spôsobom zavedenia spektrálnych hustôt je priama Fourierova transformácia náhodných procesov.

Dovoliť a byť dva stacionárne ergodické náhodné procesy, pre ktoré kompaktne podporované Fourierove transformácie -dĺžkové realizácie sú určené vo forme

Obojsmerná vzájomná spektrálna hustota týchto náhodných procesov sa zavádza pomocou súčinu prostredníctvom vzťahu

kde operátor očakávania znamená operáciu spriemerovania indexu.

Výpočet obojstrannej spektrálnej hustoty náhodného procesu sa vykonáva podľa vzťahu

Jednostranné spektrálne hustoty sa zavádzajú podobne:

Funkcie definované vzorcami (1.49), (1.50) sú totožné so zodpovedajúcimi funkciami definovanými vzťahmi (1.32), (1.33) ako Fourierove transformácie cez kovariančné funkcie. Toto vyhlásenie sa nazýva Wiener-Khinchinove vety.

Kontrolné otázky

1. Uveďte klasifikáciu deterministických procesov.

2. Aký je rozdiel medzi polyharmonickými a takmer periodickými procesmi?

3. Formulujte definíciu stacionárneho náhodného procesu.

4. Ktorá metóda spriemerovania charakteristík ergodického náhodného procesu je vhodnejšia – spriemerovanie za súbor funkcií vzorky alebo spriemerovanie za čas pozorovania jednej implementácie?

5. Formulujte definíciu rozdelenia hustoty pravdepodobnosti náhodného procesu.

6. Napíšte výraz spájajúci korelačné a kovariančné funkcie stacionárneho náhodného procesu.

7. V akom prípade sú dva náhodné procesy považované za nekorelované?

8. Uveďte metódy na výpočet strednej kvadratickej hodnoty stacionárneho náhodného procesu.

9. Aké transformácie súvisia so spektrálnou hustotou a kovariančnými funkciami náhodného procesu?

10. V akých medziach sa menia hodnoty koherenčnej funkcie dvoch náhodných procesov?

Literatúra

1. Sergienko, A.B. Digitálne spracovanie signálu / A.B. Sergienko. – M: Peter, 2002. – 604 s.

2. Sadovský, G.A. Teoretické základy informačno-meracích technológií / G.A. Sadovský. – M.: Vyššia škola, 2008. – 480 s.

3. Bendat, D. Aplikácia korelačnej a spektrálnej analýzy / D. Bendat, A. Piersol. – M.: Mir, 1983. – 312 s.

4. Bendat, D. Meranie a analýza náhodných procesov / D. Bendat, A. Pirsol. – M.: Mir, 1974. – 464 s.

Nechajte signál s(t) je špecifikovaná ako neperiodická funkcia a existuje iba na intervale ( t 1 ,t 2) (príklad - jeden impulz). Vyberme si ľubovoľné časové obdobie T vrátane intervalu ( t 1 ,t 2) (pozri obr. 1).

Označme periodický signál získaný z s(t), ako ( t). Potom môžeme napísať Fourierov rad

Ak chcete prejsť na funkciu s(t) nasleduje vo výraze ( t) nasmerujte obdobie do nekonečna. V tomto prípade počet harmonických zložiek s frekvenciami w=n 2p/T budú nekonečne veľké, vzdialenosť medzi nimi bude mať tendenciu k nule (na nekonečne malú hodnotu:

amplitúdy komponentov budú tiež nekonečne malé. Preto už nie je možné hovoriť o spektre takéhoto signálu, pretože spektrum sa stáva spojitým.

Vnútorný integrál je funkciou frekvencie. Nazýva sa spektrálna hustota signálu, alebo frekvenčná odozva signálu a označuje sa t.j.

Pre všeobecnosť môžu byť limity integrácie nastavené na nekonečno, pretože je všetko rovnaké, kde s(t) sa rovná nule a integrál sa rovná nule.

Výraz pre spektrálnu hustotu sa nazýva priama Fourierova transformácia. Inverzná Fourierova transformácia určuje časovú funkciu signálu z jeho spektrálnej hustoty

Priame (*) a inverzné (**) Fourierove transformácie sa spoločne nazývajú pár Fourierových transformácií. Modul spektrálnej hustoty

určuje amplitúdovo-frekvenčnú odozvu (AFC) signálu a jeho argument nazývaná fázovo-frekvenčná odozva (PFC) signálu. Frekvenčná odozva signálu je párna funkcia a fázová odozva je nepárna.

Význam modulu S(w) je definovaná ako amplitúda signálu (prúdu alebo napätia) na 1 Hz v nekonečne úzkom frekvenčnom pásme, ktoré zahŕňa príslušnú frekvenciu w. Jeho rozmer je [signál/frekvencia].

Energetické spektrum signálu. Ak má funkcia s(t) Fourierovu hustotu výkonu signálu ( spektrálna hustota energie signálu) je určený výrazom:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Výkonové spektrum je W()-reálna nezáporná párna funkcia, ktorá sa zvyčajne nazýva energetické spektrum. Výkonové spektrum ako druhá mocnina modulu spektrálnej hustoty signálu neobsahuje fázovú informáciu o jeho frekvenčných zložkách, a preto je rekonštrukcia signálu z výkonového spektra nemožná. To tiež znamená, že signály s rôznymi fázovými charakteristikami môžu mať rovnaké výkonové spektrá. Najmä posun signálu sa neodráža v jeho výkonovom spektre. Ten nám umožňuje získať vyjadrenie pre energetické spektrum priamo z výrazov (5.2.7). V limite pre identické signály u(t) a v(t) s posunom t 0 má imaginárna časť spektra Wuv () tendenciu k nulovým hodnotám a reálna časť k hodnotám modulu spektra. . S úplnou časovou kombináciou signálov máme:

tie. energia signálu sa rovná integrálu kvadrátu modulu jeho frekvenčného spektra - súčtu energie jeho frekvenčných zložiek a je vždy reálnou hodnotou.

Pre ľubovoľný signál s(t) je rovnosť

zvyčajne nazývaná Parsevalova rovnosť (v matematike - Plancherelova veta, vo fyzike - Rayleighov vzorec). Rovnosť je zrejmá, pretože súradnicové a frekvenčné reprezentácie sú v podstate len rôzne matematické reprezentácie toho istého signálu. Podobne pre energiu interakcie dvoch signálov:

Z Parsevalovej rovnosti vyplýva, že skalárny súčin signálov a norma vzhľadom na Fourierovu transformáciu je invariantná:

V rade čisto praktických problémov záznamu a prenosu signálov je energetické spektrum signálu veľmi významné. Periodické signály sa prekladajú do spektrálnej oblasti vo forme Fourierových radov. Napíšme periodický signál s periódou T vo forme Fourierovho radu v komplexnom tvare:

Interval 0-T obsahuje celé číslo periód všetkých exponentov integrandu a rovná sa nule, s výnimkou exponenciály v k = -m, pre ktorú sa integrál rovná T. Priemerná mocnina a periodický signál sa rovná súčtu štvorcových modulov koeficientov jeho Fourierovho radu:

Energetické spektrum signálu – ide o rozloženie energie základných signálov, ktoré tvoria neharmonický signál na frekvenčnej osi. Matematicky sa energetické spektrum signálu rovná druhej mocnine modulu spektrálnej funkcie:

V súlade s tým amplitúdovo-frekvenčné spektrum zobrazuje množinu amplitúd zložiek základných signálov na frekvenčnej osi a fázovo frekvenčné spektrum zobrazuje množinu fáz

Modul spektrálnej funkcie sa často nazýva amplitúdové spektrum, a jej argument je fázové spektrum.

Okrem toho existuje inverzná Fourierova transformácia, ktorá vám umožňuje obnoviť pôvodný signál s vedomím jeho spektrálnej funkcie:

Vezmite napríklad obdĺžnikový impulz:

Ďalší príklad spektra:

Nyquistova frekvencia, Kotelnikovova veta .

Nyquistova frekvencia - pri digitálnom spracovaní signálu frekvencia rovnajúca sa polovici vzorkovacej frekvencie. Pomenovaný po Harrym Nyquistovi. Z Kotelnikovovej vety vyplýva, že pri vzorkovaní analógového signálu nedôjde k strate informácie iba vtedy, ak je spektrum (spektrálna hustota) signálu rovnaké alebo nižšie ako Nyquistova frekvencia. V opačnom prípade pri obnove analógového signálu dôjde k prekrytiu spektrálnych „chvostov“ (frekvenčná substitúcia, frekvenčné maskovanie) a tvar obnoveného signálu bude skreslený. Ak spektrum signálu nemá žiadne zložky nad Nyquistovou frekvenciou, potom sa môže (teoreticky) vzorkovať a potom rekonštruovať bez skreslenia. V skutočnosti je „digitalizácia“ signálu (konverzia analógového signálu na digitálny) spojená s kvantizáciou vzoriek - každá vzorka je zapísaná vo forme digitálneho kódu s konečnou bitovou hĺbkou, v dôsledku čoho kvantizačné (zaokrúhľovacie) chyby sa pridávajú do vzoriek, za určitých podmienok považovaných za „kvantizačný šum“.

Reálne signály s konečnou dobou trvania majú vždy nekonečne široké spektrum, ktoré s rastúcou frekvenciou viac či menej rýchlo klesá. Vzorkovanie signálu preto vždy vedie k strate informácie (skreslenie tvaru signálu pri vzorkovaní a rekonštrukcii), bez ohľadu na to, aká vysoká je vzorkovacia frekvencia. Pri zvolenej vzorkovacej frekvencii možno skreslenie znížiť potlačením spektrálnych zložiek analógového signálu (pred vzorkovaním) nad Nyquistovou frekvenciou, čo si vyžaduje filter veľmi vysokého rádu, aby sa zabránilo aliasingu chvostov. Praktická realizácia takéhoto filtra je veľmi komplikovaná, keďže amplitúdovo-frekvenčné charakteristiky filtrov nie sú pravouhlé, ale hladké a medzi priepustným pásmom a pásmom potlačenia je vytvorené určité pásmo prechodových frekvencií. Preto sa vzorkovacia frekvencia volí s rezervou, napríklad pri audio CD sa používa vzorkovacia frekvencia 44 100 Hz, pričom za najvyššiu frekvenciu v spektre audio signálov sa považuje 20 000 Hz. Nyquistova frekvenčná rezerva 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz vám umožňuje vyhnúť sa frekvenčnej substitúcii pri použití implementovaného filtra nízkeho rádu.

Kotelnikovova veta

Pre obnovenie pôvodného spojitého signálu z navzorkovaného s malými skresleniami (chybami) je potrebné racionálne zvoliť krok vzorkovania. Preto pri prevode analógového signálu na diskrétny nevyhnutne vyvstáva otázka veľkosti kroku vzorkovania. Intuitívne nie je ťažké pochopiť nasledujúcu myšlienku. Ak má analógový signál nízkofrekvenčné spektrum obmedzené určitou hornou frekvenciou Fe (t.j. funkcia u(t) má tvar plynule sa meniacej krivky bez prudkých zmien amplitúdy), potom je nepravdepodobné, že by táto funkcia mohla sa výrazne zmenili počas určitého malého časového intervalu vzorkovania. Je celkom zrejmé, že presnosť rekonštrukcie analógového signálu zo sekvencie jeho vzoriek závisí od veľkosti intervalu vzorkovania, čím je kratší, tým menej sa bude funkcia u(t) líšiť od hladkej krivky prechádzajúcej vzorkou bodov. So znižovaním intervalu odberu vzoriek sa však výrazne zvyšuje zložitosť a objem spracovateľského zariadenia. Ak je interval vzorkovania dostatočne veľký, zvyšuje sa pravdepodobnosť skreslenia alebo straty informácií pri rekonštrukcii analógového signálu. Optimálnu hodnotu intervalu vzorkovania určuje Kotelnikovova veta (iné názvy sú vzorkovacia veta, veta K. Shannona, veta X. Nyquista: vetu prvýkrát objavil v matematike O. Cauchy a potom ju opäť opísal D. Carson a R. Hartley), ktorý dokázal v roku 1933 V. A. Kotelnikovova veta má dôležitý teoretický a praktický význam: umožňuje správne vzorkovať analógový signál a určuje optimálny spôsob jeho obnovenia na prijímacom konci z hodnôt vzorky.

Podľa jednej z najznámejších a najjednoduchších interpretácií Kotelnikovovej vety je možné ľubovoľný signál u(t), ktorého spektrum je obmedzené určitou frekvenciou Fe, úplne rekonštruovať zo sekvencie jeho referenčných hodnôt, ktoré nasledujú po čase. interval

Vzorkovací interval a frekvencia Fe(1) sa v rádiotechnike často nazývajú interval a frekvencia Nyquist. Analyticky je Kotelnikovova veta uvedená vedľa

kde k je číslo vzorky; - hodnota signálu v referenčných bodoch - horná frekvencia spektra signálu.

Frekvenčná reprezentácia diskrétnych signálov .

Väčšina signálov môže byť reprezentovaná ako Fourierova séria:

Keď máme na mysli náhodný proces ako súbor (súbor) funkcií času, je potrebné mať na pamäti, že rôznym tvarovým funkciám zodpovedajú rôzne spektrálne charakteristiky. Spriemerovanie komplexnej spektrálnej hustoty zavedenej v § 2.6 alebo 2.1 pre všetky funkcie vedie k nulovému spektru procesu (at ) v dôsledku náhodnosti a nezávislosti fáz spektrálnych zložiek v rôznych implementáciách.

Je však možné zaviesť koncept spektrálnej hustoty stredného štvorca náhodnej funkcie, pretože hodnota stredného štvorca nezávisí od fázového vzťahu sčítaných harmonických. Ak náhodná funkcia znamená elektrické napätie alebo prúd, potom strednú druhú mocninu tejto funkcie možno považovať za priemerný výkon uvoľnený pri odpore 1 ohm. Táto sila je rozdelená medzi frekvencie v určitom pásme v závislosti od mechanizmu vzniku náhodného procesu. Priemerná výkonová spektrálna hustota je priemerný výkon na Hz pri danej frekvencii. Dimenzia funkcie, ktorou je pomer výkonu k frekvenčnému pásmu, je

Spektrálnu hustotu náhodného procesu možno nájsť, ak je známy mechanizmus vzniku náhodného procesu. Vo vzťahu k hluku spojenému s atómovou štruktúrou hmoty a elektriny bude tento problém posúdený v § 7.3. Tu sa obmedzíme na niekoľko všeobecných definícií.

Výberom akejkoľvek realizácie zo súboru a obmedzením jej trvania na konečný interval T na ňu môžete použiť zvyčajnú Fourierovu transformáciu a nájsť spektrálnu hustotu (ω). Potom možno energiu uvažovaného segmentu realizácie vypočítať pomocou vzorca (2.66):

Vydelením tejto energie získame priemerný výkon k-tej implementácie na segmente T

Keď sa T zvyšuje, energia sa zvyšuje, ale pomer má tendenciu k určitej hranici. Po dosiahnutí limitu sa dostaneme

predstavuje priemernú výkonovú spektrálnu hustotu príslušnej implementácie.

Vo všeobecnosti musí byť hodnota spriemerovaná z mnohých implementácií. Ak sa v tomto prípade obmedzíme na stacionárny a ergodický proces, môžeme predpokladať, že funkcia zistená spriemerovaním jednej implementácie charakterizuje celý proces ako celok.

Vynechaním indexu k získame konečný výraz pre priemernú mocnosť náhodného procesu

Ak sa uvažuje o náhodnom procese s nenulovou strednou hodnotou, potom by mala byť spektrálna hustota znázornená vo forme