இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள்

விரிவுரை 1

இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள்.இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் பண்புகள் வரையறை. மறுசெலுத்தப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகள். இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் குறைக்கிறது. ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை அமைத்தல். கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு என்பது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்தை பொதுமைப்படுத்துவதாகும். இந்த வழக்கில், ஒருங்கிணைப்பு பிரிவுக்கு பதிலாக, ஒருவித தட்டையான உருவம் இருக்கும்.

விடுங்கள் டிசில மூடிய வரையறுக்கப்பட்ட பகுதி, மற்றும் f(x,y) என்பது இந்த பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாடு ஆகும். பிராந்தியத்தின் எல்லைகள் என்று நாம் கருதுவோம் டிவடிவத்தின் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வளைவுகளைக் கொண்டிருக்கும் ஒய்=f(எக்ஸ்) அல்லது எக்ஸ்=g( ஒய்), எங்கே f(எக்ஸ்) மற்றும் g(ஒய்) தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாகும்.

பகுதியை பிரிப்போம் டிதோராயமாக அன்று nபாகங்கள். சதுரம் நான்-வது பிரிவு D என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படும் எஸ் ஐ. ஒவ்வொரு பிரிவிலும், நாம் தோராயமாக ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் பை,சில நிலையான கார்ட்டீசியன் அமைப்பில் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டிருக்கட்டும் ( x i, y i) இசையமைப்போம் ஒருங்கிணைந்த தொகைசெயல்பாட்டிற்கு f(x,y) பிராந்தியத்தின் அடிப்படையில் டி,இதைச் செய்ய, அனைத்து புள்ளிகளிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் பி ஐ, தொடர்புடைய பிரிவுகளின் பரப்பளவில் அவற்றைப் பெருக்கவும் Ds நான்மற்றும் பெறப்பட்ட அனைத்து முடிவுகளையும் சுருக்கவும்:

கூப்பிடுவோம் விட்டம் விட்டம்(ஜி) பகுதிகள் ஜிஇந்தப் பகுதியின் எல்லைப் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள மிகப்பெரிய தூரம்.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகள் f(x,y) ஓவர் டொமைன் D என்பது ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரிசையின் வரம்பு (1.1) பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் n (இதில்) இது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது

பொதுவாகச் சொன்னால், கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு களத்திற்கான ஒருங்கிணைந்த தொகையானது, டொமைனைப் பிரிக்கும் முறையைப் பொறுத்தது. டிமற்றும் புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது பி ஐ. இருப்பினும், இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு இருந்தால், தொடர்புடைய ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட காரணிகளைப் பொறுத்தது அல்ல. இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு இருப்பதற்கு(அல்லது, அவர்கள் சொல்வது போல், அதனால் செயல்பாடு f(x,y) டொமைன் D இல் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும்), ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு இருந்தால் போதுமானது தொடர்ச்சியானகொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு களத்தில்.

செயல்படட்டும் f(x,y) டொமைனில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி. அத்தகைய செயல்பாடுகளுக்கான தொடர்புடைய ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பு ஒருங்கிணைப்பு டொமைனைப் பிரிக்கும் முறையைப் பொறுத்து இல்லை என்பதால், பகிர்வை செங்குத்து மற்றும் கிடைமட்ட கோடுகளைப் பயன்படுத்தி செய்யலாம். பின்னர் பிராந்தியத்தின் பெரும்பாலான பகுதிகள் டிஒரு செவ்வக வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும், அதன் பரப்பளவு D க்கு சமம் எஸ் ஐ=D x iடி ஒய் ஐ. எனவே, பகுதி வேறுபாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம் ds=dxdy. எனவே, கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள்வடிவத்தில் எழுதலாம்

கருத்து. ஒருங்கிணைந்த எஃப் என்றால்(x,y)º1, பின்னர் இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு ஒருங்கிணைப்பு பகுதியின் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும்:

இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளின் அதே பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. அவற்றில் சிலவற்றைக் குறிப்பிடுவோம்.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகள்.

1 0 .நேரியல் சொத்து. செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

மற்றும் நிலையான காரணியை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:

2 0 .சேர்க்கை சொத்து. ஒருங்கிணைப்பு டொமைன் D இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டால், இரட்டை ஒருங்கிணைப்பானது இந்த ஒவ்வொரு பகுதியிலும் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.:

3 0 .சராசரி மதிப்பு தேற்றம். செயல்பாடு என்றால் f( x,y)D பகுதியில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது, பின்னர் இந்த பகுதியில் அத்தகைய புள்ளி உள்ளது(x,h) , என்ன:

அடுத்த கேள்வி: இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகின்றன? இந்த நோக்கத்திற்காக தோராயமாக கணக்கிடப்படலாம், தொடர்புடைய ஒருங்கிணைந்த தொகைகளை தொகுக்க பயனுள்ள முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, பின்னர் அவை கணினியைப் பயன்படுத்தி எண்ணாக கணக்கிடப்படுகின்றன. இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளை பகுப்பாய்வு முறையில் கணக்கிடும்போது, ​​​​அவை இரண்டு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளாக குறைக்கப்படுகின்றன.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள் (மற்றும் அவற்றின் வழித்தோன்றல்) ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தொடர்புடைய பண்புகளைப் போலவே இருக்கும்.

1°. சேர்க்கை. செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) டொமைனில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டிமற்றும் பகுதி என்றால் டிஒரு வளைவைப் பயன்படுத்தி ஜிபூஜ்ஜியப் பகுதி பொதுவான உள் புள்ளிகள் இல்லாத இரண்டு இணைக்கப்பட்ட பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது டி 1 மற்றும் டி 2, பின்னர் செயல்பாடு f(எக்ஸ், ஒய்) ஒவ்வொரு களத்திலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி 1 மற்றும் டி 2, மற்றும்

2°. நேரியல் சொத்து. செயல்பாடுகள் என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) மற்றும் g(எக்ஸ், ஒய்) டொமைன்களில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை டி, ஏ α மற்றும் β - ஏதேனும் உண்மையான எண்கள், பின்னர் செயல்பாடு [ α · f(எக்ஸ், ஒய்) + β · g(எக்ஸ், ஒய்)] டொமைனிலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி, மற்றும்

3°. செயல்பாடுகள் என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) மற்றும் g(எக்ஸ், ஒய்) டொமைன்களில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை டி, பின்னர் இந்த செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி.

4°. செயல்பாடுகள் என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) மற்றும் g(எக்ஸ், ஒய்) இரண்டும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை டிமற்றும் இந்த பகுதியில் எல்லா இடங்களிலும் f(எக்ஸ், ஒய்) ≤ g(எக்ஸ், ஒய்), அந்த

5°. செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) டொமைனில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி, பின்னர் செயல்பாடு | f(எக்ஸ், ஒய்)| பகுதிகளில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி, மற்றும்

(நிச்சயமாக, ஒருங்கிணைப்பில் இருந்து | f(எக்ஸ், ஒய்)| வி டிஒருங்கிணைப்பு பின்பற்றப்படாது f(எக்ஸ், ஒய்) வி டி.)

6°. சராசரி மதிப்பு தேற்றம். இரண்டும் செயல்பட்டால் f(எக்ஸ், ஒய்) மற்றும் g(எக்ஸ், ஒய்) டொமைன்களில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை டி, செயல்பாடு g(எக்ஸ், ஒய்) இந்த பிராந்தியத்தில் எல்லா இடங்களிலும் எதிர்மறை (நேர்மறை அல்ல) எம்மற்றும் மீ- செயல்பாட்டின் சரியான மேல் மற்றும் சரியான கீழ் எல்லைகள் f(எக்ஸ், ஒய்) பகுதியில் டி, பின்னர் ஒரு எண் உள்ளது μ , சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது மீ ≤ μ ≤ எம்மற்றும் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்

இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள். இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் பண்புகள் வரையறை. மறுசெலுத்தப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகள். இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் குறைக்கிறது. ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை அமைத்தல். கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு.

1. இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள்

1.1 இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் வரையறை

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு என்பது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்தை பொதுமைப்படுத்துவதாகும். இந்த வழக்கில், ஒருங்கிணைப்பு பிரிவுக்கு பதிலாக, ஒருவித தட்டையான உருவம் இருக்கும்.

விடுங்கள் டிசில மூடிய வரையறுக்கப்பட்ட பகுதி, மற்றும் f(எக்ஸ், ஒய்) என்பது இந்த பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாடு ஆகும். பிராந்தியத்தின் எல்லைகள் என்று நாம் கருதுவோம் டிவடிவத்தின் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வளைவுகளைக் கொண்டிருக்கும் ஒய்=f(எக்ஸ்) அல்லது எக்ஸ்=g( ஒய்), எங்கே f(எக்ஸ்) மற்றும் g(ஒய்) தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாகும்.

ஆர்

அரிசி. 1.1

azobiem பகுதி டிதோராயமாக அன்று nபாகங்கள். சதுரம் நான்வது பிரிவு  என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படும் கள் நான். ஒவ்வொரு பிரிவிலும், நாம் தோராயமாக ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் பி நான் , சில நிலையான கார்ட்டீசியன் அமைப்பில் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டிருக்கட்டும் ( எக்ஸ் நான் , ஒய் நான்) இசையமைப்போம் ஒருங்கிணைந்த தொகைசெயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ், ஒய்) பிராந்தியத்தின் அடிப்படையில் டி, இதைச் செய்ய, அனைத்து புள்ளிகளிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் பி நான், தொடர்புடைய பிரிவுகளின் பரப்பளவில் அவற்றைப் பெருக்கவும் s நான்மற்றும் பெறப்பட்ட அனைத்து முடிவுகளையும் சுருக்கவும்:

. (1.1)

கூப்பிடுவோம் விட்டம் விட்டம்(ஜி) பகுதிகள் ஜிஇந்தப் பகுதியின் எல்லைப் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள மிகப்பெரிய தூரம்.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகள் f(எக்ஸ், ஒய்) பிராந்தியம் வாரியாக டி ஒருங்கிணைப்புகளின் வரிசையின் வரம்பு தொகைகள் (1.1) பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் n (இதில்
) இது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது

. (1.2)

பொதுவாகச் சொன்னால், கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு களத்திற்கான ஒருங்கிணைந்த தொகையானது, டொமைனைப் பிரிக்கும் முறையைப் பொறுத்தது. டிமற்றும் புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது பி நான். இருப்பினும், இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு இருந்தால், தொடர்புடைய ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட காரணிகளைச் சார்ந்து இருக்காது. இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு இருப்பதற்கு(அல்லது, அவர்கள் சொல்வது போல், செய்ய செயல்பாடு f(எக்ஸ், ஒய்) இருந்தது துறையில் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டதுடி), ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு இருந்தால் போதுமானதுதொடர்ச்சியான கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு களத்தில்.

பி

அரிசி. 1.2

ஒரு செயல்பாடு உள்ளது f(எக்ஸ், ஒய்) டொமைனில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி. அத்தகைய செயல்பாடுகளுக்கான தொடர்புடைய ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பு ஒருங்கிணைப்பு டொமைனைப் பிரிக்கும் முறையைச் சார்ந்து இல்லை என்பதால், பகிர்வை செங்குத்து மற்றும் கிடைமட்ட கோடுகளைப் பயன்படுத்தி செய்யலாம். பின்னர் பிராந்தியத்தின் பெரும்பாலான பகுதிகள் டிஒரு செவ்வக வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும், அதன் பரப்பளவு  க்கு சமம் கள் நான் =எக்ஸ் நான் ஒய் நான். எனவே, பகுதி வேறுபாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம் ds= dxdy. எனவே, கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள்வடிவத்தில் எழுதலாம்

. (1.3)

கருத்து . ஒருங்கிணைப்பு என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்1, பின்னர் இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு ஒருங்கிணைப்பு பகுதியின் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும்:

. (1.4)

இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளின் அதே பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. அவற்றில் சிலவற்றைக் குறிப்பிடுவோம்.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகள்.

1 0 . நேரியல் சொத்து. செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

மற்றும் நிலையான காரணியை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:

.

2 0 . சேர்க்கை சொத்து. ஒருங்கிணைப்பு களம் என்றால்டிஇரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டால், இரட்டை ஒருங்கிணைப்பானது இந்த ஒவ்வொரு பகுதியிலும் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.:

.

3 0 . சராசரி மதிப்பு தேற்றம். செயல்பாடு என்றால் f( எக்ஸ், ஒய்)பிராந்தியத்தில் தொடர்ந்துடி, இந்த பிராந்தியத்தில் அத்தகைய புள்ளி உள்ளது() , என்ன:

.

அடுத்த கேள்வி: இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகின்றன? இந்த நோக்கத்திற்காக தோராயமாக கணக்கிடப்படலாம், தொடர்புடைய ஒருங்கிணைந்த தொகைகளை தொகுக்க பயனுள்ள முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, பின்னர் அவை ஒரு கணினியைப் பயன்படுத்தி எண்ணாக கணக்கிடப்படுகின்றன. இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளை பகுப்பாய்வு முறையில் கணக்கிடும்போது, ​​​​அவை இரண்டு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளாக குறைக்கப்படுகின்றன.

1.2 மறுதொடக்கம் செய்யப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகள்

மறுதொடக்கம் செய்யப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகள் வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள்

. (1.5)

இந்த வெளிப்பாட்டில், உள் ஒருங்கிணைப்பு முதலில் கணக்கிடப்படுகிறது, அதாவது. முதலில், மாறி மீது ஒருங்கிணைப்பு செய்யப்படுகிறது ஒய்(இந்த வழக்கில் மாறி எக்ஸ்நிலையான மதிப்பாகக் கருதப்படுகிறது). ஒருங்கிணைப்பின் விளைவாக முடிந்தது ஒய்நீங்கள் படி சில செயல்பாடு கிடைக்கும் எக்ஸ்:

.

இதன் விளைவாக செயல்பாடு ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது எக்ஸ்:

.

எடுத்துக்காட்டு 1.1.ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுங்கள்:

A)
, b)
.

தீர்வு . அ) ஒருங்கிணைப்போம் ஒய், மாறி என்று கருதி எக்ஸ்= நிலையான. இதற்குப் பிறகு, ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுகிறோம் எக்ஸ்:

.

b) உள் ஒருங்கிணைப்பில் மாறியின் மீது ஒருங்கிணைப்பு மேற்கொள்ளப்படுவதால் எக்ஸ், அந்த ஒய் 3 ஐ ஒரு நிலையான காரணியாக வெளிப்புற ஒருங்கிணைப்பில் எடுத்துக் கொள்ளலாம். ஏனெனில் ஒய்உள் ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள 2 ஒரு நிலையான மதிப்பாகக் கருதப்படுகிறது, பின்னர் இந்த ஒருங்கிணைப்பு அட்டவணையாக இருக்கும். வரிசையான ஒருங்கிணைப்பு முடிந்தது ஒய்மற்றும் எக்ஸ், நாம் பெறுகிறோம்

இரட்டை மற்றும் மறுமுறை ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பு உள்ளது, ஆனால் முதலில் எளிய மற்றும் சிக்கலான பகுதிகளைப் பார்ப்போம். பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது எளியஎந்த திசையிலும் இந்த திசையில் வரையப்பட்ட ஏதேனும் நேர்கோடு இரண்டு புள்ளிகளுக்கு மேல் பிராந்தியத்தின் எல்லையை வெட்டுகிறது. கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், O அச்சில் உள்ள திசைகள் பொதுவாகக் கருதப்படுகின்றன எக்ஸ்மற்றும் ஓ ஒய். பகுதி இரண்டு திசைகளிலும் எளிமையாக இருந்தால், அவர்கள் சுருக்கமாக சொல்கிறார்கள் - ஒரு எளிய பகுதி, திசையை முன்னிலைப்படுத்தாமல். ஒரு பகுதி எளிமையானது அல்ல என்றால், அது என்று கூறப்படுகிறது சிக்கலான.

எல்

ஒரு b

அரிசி. 1.4

எந்தவொரு சிக்கலான பகுதியையும் எளிய பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம். அதன்படி, எந்தவொரு இரட்டை ஒருங்கிணைப்பையும் எளிய பகுதிகளின் மீது இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம். எனவே, பின்வருவனவற்றில் நாம் முக்கியமாக எளிய களங்களில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம்.

தேற்றம் . ஒருங்கிணைப்பு களம் என்றால்டி- அச்சு திசையில் எளிமையானதுஓ(படம் 1.4a ஐப் பார்க்கவும்), பின்னர் இரட்டை ஒருங்கிணைப்பை பின்வருமாறு மீண்டும் மீண்டும் எழுதலாம்:

; (1.6)

ஒருங்கிணைப்பு களம் என்றால்டி- அச்சு திசையில் எளிமையானதுஎருது(படம் 1.4b ஐப் பார்க்கவும்), பின்னர் இரட்டை ஒருங்கிணைப்பை பின்வருமாறு மீண்டும் மீண்டும் எழுதலாம்:

. (1.7)

ஈ

அரிசி. 1.3

ஒருங்கிணைப்பின் டொமைன் இரு திசைகளிலும் சரியாக இருந்தால், ஒருங்கிணைப்பின் எளிமையைப் பொறுத்து, நீங்கள் தன்னிச்சையாக மறுதொடக்கம் செய்யப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பின் வகையைத் தேர்வு செய்யலாம்.

1.3 ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளை அமைத்தல்

1.3.1. செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு களம்

பி

அரிசி. 1.5

இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்யும்போது, ​​உள் ஒருங்கிணைப்புகளில் வரம்புகளை அமைக்கும்போது முக்கிய சிரமம் எழுகிறது. செவ்வக பகுதிகளுக்கு இதைச் செய்வது மிகவும் எளிதானது (படம் 1.5 ஐப் பார்க்கவும்).

எடுத்துக்காட்டு 1.2.இரட்டை ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்

.

தீர்வு . இரட்டை ஒருங்கிணைப்பை ஒரு செயலாக எழுதுவோம்:

.

1.3.2. தன்னிச்சையான ஒருங்கிணைப்பு களம்

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பில் இருந்து மீண்டும் மீண்டும் ஒன்றுக்கு செல்ல, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:

ஒருங்கிணைப்பு களத்தை உருவாக்குதல்;

வெளிப்புற ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் நிலையான அளவுகளாக (அதாவது எண்கள்) இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளும்போது, ​​எந்த மாறியிலிருந்து வெளிப்புற ஒருங்கிணைப்பு கணக்கிடப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.3.இரட்டை ஒருங்கிணைப்புக்கான தொடர்புடைய மறுதொடக்க ஒருங்கிணைப்புகளில் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை வரிசைப்படுத்தவும்

, என்றால் அ)
b)

ஆர்

அரிசி. 1.6

முடிவு . A)ஒருங்கிணைப்பு களத்தை சித்தரிப்போம் டி(படம் 1.6 ஐப் பார்க்கவும்). வெளிப்புற ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் மீது மேற்கொள்ளப்படட்டும் எக்ஸ், மற்றும் உள் - படி ஒய். வரம்புகளை அமைக்கும் போது நீங்கள் எப்போதும் வெளிப்புற ஒருங்கிணைப்புடன் தொடங்க வேண்டும், இந்த விஷயத்தில் ஒரு மாறியுடன் எக்ஸ். படத்தில் இருந்து அது தெளிவாகிறது எக்ஸ் 0 முதல் 1 வரை மாறுகிறது, அதே சமயம் மாறியின் மதிப்புகள் ஒய்நேர்கோட்டில் உள்ள மதிப்புகளிலிருந்து மாறுபடும் ஒய்= எக்ஸ்நேர் கோட்டில் உள்ள மதிப்புகளுக்கு ஒய்=2எக்ஸ். இவ்வாறு, நாம் பெறுகிறோம்

.

இப்போது வெளிப்புற ஒருங்கிணைப்பில் ஒருங்கிணைப்பு அதன்படி மேற்கொள்ளப்படட்டும் ஒய், மற்றும் உள் - படி எக்ஸ். இந்த வழக்கில் மதிப்புகள் ஒய் 0 முதல் 2 வரை மாறும். இருப்பினும், மாறியின் மதிப்புகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் மேல் வரம்பு எக்ஸ்இரண்டு பிரிவுகளைக் கொண்டிருக்கும் எக்ஸ்= ஒய்/2 மற்றும் எக்ஸ்=1. இதன் பொருள் ஒருங்கிணைப்பு பகுதியை நேர் கோட்டின் இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும் ஒய்=1. பின்னர் முதல் பகுதியில் y 0 இலிருந்து 1 ஆக மாறுகிறது, மேலும் எக்ஸ்நேர் கோட்டில் இருந்து எக்ஸ்= ஒய்/2 நேர்கோட்டில் எக்ஸ்= ஒய். இரண்டாவது பகுதியில், y 1 முதல் 2 வரை மாறுகிறது, மேலும் எக்ஸ்- ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்து எக்ஸ்= ஒய்/2 நேர்கோட்டில் எக்ஸ்=1. இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்

.

பி

அரிசி. 1.7

) ஒருங்கிணைப்பு களத்தை உருவாக்குவோம் டி(படம் 1.7 ஐப் பார்க்கவும்). வெளிப்புற ஒருங்கிணைப்பில் ஒருங்கிணைப்பு அதன்படி மேற்கொள்ளப்படட்டும் எக்ஸ், மற்றும் உள் - படி ஒய். இந்த வழக்கில், மாறும் போது எக்ஸ்மாறியில் –1 முதல் 1 வரை மாற்றம் ஒய்மேலே இருந்து இரண்டு கோடுகள் வரையறுக்கப்படும்: ஒரு வட்டம் மற்றும் ஒரு நேர் கோடு. பிரிவில் [–1;0] ஒய்இருந்து மாறுபடுகிறது ஒய்=0 முதல்
; பிரிவில் மாறி ஒய்இருந்து மாறுபடுகிறது ஒய்=0 முதல் ஒய்=1–எக்ஸ். இதனால்,

.

இப்போது வெளிப்புற ஒருங்கிணைப்பில் அதன் படி ஒருங்கிணைப்பு மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும் ஒய், மற்றும் உள் - படி எக்ஸ். இந்த வழக்கில் ஒய் 0 முதல் 1 வரை மாறும், மற்றும் மாறி எக்ஸ்- ஒரு வட்டத்தின் வளைவில் இருந்து
ஒரு நேர் கோட்டிற்கு எக்ஸ்=1–ஒய். இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்

.

சரியான ஒருங்கிணைப்பு வரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்பது எவ்வளவு முக்கியம் என்பதை இந்த எடுத்துக்காட்டுகள் காட்டுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1.4.ஒருங்கிணைப்பு வரிசையை மாற்றவும்

A)
; b)
.

ஆர்

அரிசி. 1.8

முடிவு . A)ஒருங்கிணைப்பு களத்தை உருவாக்குவோம். பிரிவில் எக்ஸ்மாறி ஒய்நேர்கோட்டில் இருந்து மாறுபடும் ஒய்=0 முதல் நேர்கோட்டில் ஒய்= எக்ஸ். இதன் விளைவாக பின்வரும் ஒருங்கிணைப்பு பகுதி (படம் 1.8 ஐப் பார்க்கவும்). கட்டப்பட்ட உருவத்தின் அடிப்படையில், ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை அமைக்கிறோம்

.

b)ஒருங்கிணைப்பு களத்தை உருவாக்குவோம். பிரிவில் ஒய்மாறி எக்ஸ்நேர்கோட்டில் இருந்து மாறுபடும் எக்ஸ்=ஒய்ஒரு பரவளையத்திற்கு
; ஒரு பிரிவில் - ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்து எக்ஸ்=ஒய்ஒரு நேர் கோட்டிற்கு எக்ஸ்= 3/4. இதன் விளைவாக பின்வரும் ஒருங்கிணைப்பு பகுதி (படம் 1.9 ஐப் பார்க்கவும்). கட்டமைக்கப்பட்ட உருவத்தின் அடிப்படையில், ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை அமைக்கிறோம்,

.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்துக்கு வழிவகுக்கும் சிக்கல்.

பகுதிகளின் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் மற்றும் தொகையை எழுதுங்கள்

ஒருங்கிணைந்த என்று அழைக்கப்படுகிறது.

A: செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு (d.i.) மற்றும் தேர்வின் கீழ்

பதவி:

எண்கள் Remann integrable on .

T. இருப்பு: வழங்கப்பட்டுள்ளது .

o.i இன் வரையறைக்கு இணங்க. ஒருங்கிணைந்த வடிவம், வரம்புகள் மற்றும், ஆனால் மாறி பதவியின் சின்னத்தைப் பொறுத்தது அல்ல, இல்லையெனில் வெளிப்படுத்தப்பட்டது என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்

உட்பிரிவுகள் 17.1.1 மற்றும் 17.1.2 மற்றும் o.i இன் வரையறைக்கு இணங்க. ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதிக்கான சூத்திரத்தை எழுதுவோம்: , படை வேலை

அன்று:

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு, ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் கருத்து.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் இருப்பு, அதாவது, ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகையின் வரம்பு தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஏனெனில் இந்த வரம்பு ஒரு உருளை உடலின் அளவைக் கொடுக்கும். இருப்பினும், இந்த காரணம் கடுமையானது அல்ல. மிகவும் முழுமையான படிப்புகளில், இந்த அறிக்கை கண்டிப்பாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் இருப்பின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இருப்பு தேற்றம். ஒரு எல்லைக்குட்பட்ட மூடிய பகுதியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் எந்தவொரு செயல்பாட்டிற்கும், ஒரு இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது, அதாவது, சிறிய பகுதிகளின் எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பு உள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு ஒப்பந்தத்திற்கு ஒப்பந்தம் செய்யப்படுகின்றன. புள்ளி. இந்த வரம்பு பிராந்தியத்தை பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் முறை அல்லது புள்ளிகளின் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல

பின்வருவனவற்றில் ஒருங்கிணைப்பு களத்தில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம்.

இருப்பு தேற்றத்திலிருந்து, எடுத்துக்காட்டாக, பகுதி a பகுதியை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு இணையான நேரான பக்கங்களுடன் சிறிய செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கலாம் (படம் 230). இதில். ஒவ்வொரு சிறிய செவ்வகத்திலும் ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து, இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையின்படி எழுதலாம்

படிவத்தின் கூட்டுத்தொகையின் வரம்பாக இரட்டை ஒருங்கிணைப்பைப் பெற முடியும் என்பதை வலியுறுத்துவதற்காக, குறிப்பிற்குப் பதிலாக, நாங்கள் குறியீட்டையும் பயன்படுத்துகிறோம்.

வெளிப்பாடு கார்ட்டீசியன் ஆயங்களில் பகுதி உறுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு இணையான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தின் பகுதிக்கு சமம்.

ஒருங்கிணைந்த தொகையை தொகுக்கும்போது, ​​a பகுதியின் எல்லைக்கு அருகில் உள்ள பகுதிகள் செவ்வக வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இருப்பினும், வரம்பில் உள்ள பகுதிகளுடன் செவ்வகங்களுடன் அத்தகைய பகுதிகளை மாற்றுவதன் பிழை பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்கப்படும் என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகள்

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள் (மற்றும் அவற்றின் வழித்தோன்றல்) ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தொடர்புடைய பண்புகளைப் போலவே இருக்கும்.

1°. சேர்க்கை. செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) டொமைனில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டிமற்றும் பகுதி என்றால் டிஒரு வளைவைப் பயன்படுத்தி ஜிபூஜ்ஜியப் பகுதி பொதுவான உள் புள்ளிகள் இல்லாத இரண்டு இணைக்கப்பட்ட பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது டி 1 மற்றும் டி 2, பின்னர் செயல்பாடு f(எக்ஸ், ஒய்) ஒவ்வொரு களத்திலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி 1 மற்றும் டி 2, மற்றும்

2°. நேரியல் சொத்து. செயல்பாடுகள் என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) மற்றும் g(எக்ஸ், ஒய்) டொமைன்களில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை டி, ஏ α மற்றும் β - ஏதேனும் உண்மையான எண்கள், பின்னர் செயல்பாடு [ α · f(எக்ஸ், ஒய்) + β · g(எக்ஸ், ஒய்)] டொமைனிலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி, மற்றும்

3°. செயல்பாடுகள் என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) மற்றும் g(எக்ஸ், ஒய்) டொமைன்களில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை டி, பின்னர் இந்த செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி.

4°. செயல்பாடுகள் என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) மற்றும் g(எக்ஸ், ஒய்) இரண்டும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை டிமற்றும் இந்த பகுதியில் எல்லா இடங்களிலும் f(எக்ஸ், ஒய்) ≤ g(எக்ஸ், ஒய்), அந்த

5°. செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) டொமைனில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி, பின்னர் செயல்பாடு | f(எக்ஸ், ஒய்)| பகுதிகளில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது டி, மற்றும்

(நிச்சயமாக, ஒருங்கிணைப்பில் இருந்து | f(எக்ஸ், ஒய்)| வி டிஒருங்கிணைப்பு பின்பற்றப்படாது f(எக்ஸ், ஒய்) வி டி.)

6°. சராசரி மதிப்பு தேற்றம். இரண்டும் செயல்பட்டால் f(எக்ஸ், ஒய்) மற்றும் g(எக்ஸ், ஒய்) டொமைன்களில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை டி, செயல்பாடு g(எக்ஸ், ஒய்) இந்த பிராந்தியத்தில் எல்லா இடங்களிலும் எதிர்மறை (நேர்மறை அல்ல) எம்மற்றும் மீ- செயல்பாட்டின் சரியான மேல் மற்றும் சரியான கீழ் எல்லைகள் f(எக்ஸ், ஒய்) பகுதியில் டி, பின்னர் ஒரு எண் உள்ளது μ , சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது மீ ≤ μ ≤ எம்மற்றும் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்

குறிப்பாக, செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ், ஒய்) தொடர்ந்து உள்ளது டி, மற்றும் பகுதி டி ஒத்திசைவான, இந்த பிராந்தியத்தில் அத்தகைய புள்ளி உள்ளது ( ξ , η ), என்ன μ = f(ξ , η ), மற்றும் சூத்திரம் (11) வடிவம் எடுக்கிறது

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பானது திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளைப் போன்றது. முக்கியவற்றை மட்டும் கவனத்தில் கொள்வோம்:

1. செயல்பாடுகள் மற்றும்
பகுதிகளில் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது
, பின்னர் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு அதில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது, மற்றும்

2. நிலையான காரணி இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

3. என்றால்
பகுதிகளில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது
, மற்றும் இந்த பகுதி இரண்டு ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும்
, அந்த

.

4. என்றால்
மற்றும்
பகுதிகளில் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது
, இதில்

, அந்த

.

5. பகுதியில் இருந்தால்
செயல்பாடு
ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்கிறது


,எங்கே
மற்றும்
சில உண்மையான எண்கள், பின்னர்

,

எங்கே - பிராந்தியத்தின் பகுதி
.

இந்த பண்புகளின் சான்றுகள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கான தொடர்புடைய தேற்றங்களின் சான்றுகளைப் போலவே இருக்கும்.

செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஆயங்களில் இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பை நாம் கணக்கிட வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்
, எங்கே பகுதி - சமத்துவமின்மையால் வரையறுக்கப்பட்ட செவ்வகம் ,.

என்று பாசாங்கு செய்யலாம்
இந்த செவ்வகத்தில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது மற்றும் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளை எடுக்கும் , மேற்பரப்பால் மேலே கட்டப்பட்டுள்ளது
, பக்கங்களில் இருந்து - விமானங்கள்
,
,
,
:

.

மறுபுறம், அத்தகைய உருவத்தின் அளவை ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

,

எங்கே
- ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானம் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட உடலின் குறுக்கு வெட்டு பகுதி மற்றும் அச்சுக்கு செங்குத்தாக
. மேலும் பரிசீலனையில் உள்ள பகுதி ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்பதால்
, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது
, எங்கே நிலையான மற்றும் , அந்த

.

இந்த மூன்று சமத்துவங்களிலிருந்து அது பின்வருமாறு

.

எனவே, இந்த இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு இரண்டு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீட்டிற்கு குறைக்கப்பட்டுள்ளது; "உள் ஒருங்கிணைப்பை" கணக்கிடும் போது (அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதப்பட்டது) நிரந்தரமாக கருதப்படுகிறது.

கருத்து.கடைசி சூத்திரமும் உண்மை என்பதை நிரூபிக்க முடியும்
, மற்றும் செயல்பாடு போது வழக்கில்
குறிப்பிட்ட செவ்வகத்தில் மாற்றங்கள் அடையாளம்.

சூத்திரத்தின் வலது பக்கம் திரும்பிய ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

.

அதுபோலவே அதைக் காட்டலாம்

.

மேலே இருந்து அது பின்வருமாறு

.

கடைசி சமத்துவம் என்பது ஒருங்கிணைப்பின் முடிவு ஒருங்கிணைப்பின் வரிசையைப் பொறுத்தது அல்ல.

மிகவும் பொதுவான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்ள, நிலையான டொமைன் என்ற கருத்தை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம். கொடுக்கப்பட்ட அச்சின் திசையில் உள்ள ஒரு நிலையான (அல்லது வழக்கமான) பகுதியானது, இந்த அச்சுக்கு இணையான எந்த நேர்கோடும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு மேல் பிராந்தியத்தின் எல்லையை வெட்டுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அது பிராந்தியத்தையும் அதன் எல்லையையும் ஒரே ஒரு நேர் கோடு பிரிவில் வெட்டுகிறது.

வரையறுக்கப்பட்ட பகுதி என்று வைத்துக் கொள்வோம்

மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது
, கீழே - செயல்பாட்டு வரைபடம்
. R( ,) - இந்த பகுதியை உள்ளடக்கிய குறைந்தபட்ச செவ்வகம்
.

பகுதியில் விடுங்கள்
வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு
. ஒரு புதிய செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

,

பின்னர், இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளுக்கு ஏற்ப

.

எனவே

.

பிரிவில் இருந்து
பகுதிக்கு முற்றிலும் சொந்தமானது
பின்னர், எனவே,
மணிக்கு


, மற்றும் என்றால் இந்த பகுதிக்கு வெளியே உள்ளது
.

நிலையானது நாம் எழுதலாம்:

.

வலது பக்கத்தில் உள்ள முதல் மற்றும் மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால்

.

எனவே,

.

அச்சைப் பொறுத்தமட்டில் ஒரு பிராந்தியத் தரத்தின் மீது இரட்டை ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்.
அதை மீண்டும் ஒருங்கிணைக்கக் குறைப்பதன் மூலம்:

.

பகுதி என்றால்
அச்சு திசையில் நிலையானது
மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது ,

, இதேபோல் அதை நிரூபிக்க முடியும்

.

கருத்து.பகுதிக்கு
, அச்சுகளின் திசையில் நிலையானது
மற்றும்
, இரண்டு கடைசி சமத்துவங்களும் திருப்தி அடையும், எனவே

இந்த சூத்திரம் தொடர்புடைய இரட்டை ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடும்போது ஒருங்கிணைப்பின் வரிசையை மாற்றுகிறது.

கருத்து.ஒருங்கிணைப்பு பகுதியானது இரு ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளின் திசையில் நிலையானதாக (சரியானதாக) இல்லாவிட்டால், அது நிலையான பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிக்கப்பட்டு, இந்த பகுதிகளில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக. இரட்டை ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
பிராந்தியம் வாரியாக
, கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:
,
,
.

தீர்வு.

இந்த பகுதி அச்சுடன் தொடர்புடையதாக நிலையானது
, மற்றும் அச்சுடன் தொடர்புடையது
.

அச்சைப் பொறுத்த வரையில் தரமான பகுதியைக் கருத்தில் கொண்டு, ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவோம்
.

.

கருத்து.நாம் ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு செய்தால், அச்சுடன் தொடர்புடைய பகுதி தரநிலையை கருத்தில் கொண்டு
, நாங்கள் அதே முடிவைப் பெறுகிறோம்:

.

உதாரணமாக. இரட்டை ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
பிராந்தியம் வாரியாக
, கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:
,
,
.

தீர்வு.கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு டொமைனை படத்தில் சித்தரிக்கலாம்.

இந்த பகுதி அச்சுடன் தொடர்புடைய நிலையானது
.

.

உதாரணமாக. மறுதொடக்கம் செய்யப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பில் ஒருங்கிணைப்பு வரிசையை மாற்றவும்:

தீர்வு.படத்தில் ஒருங்கிணைப்பு பகுதியை சித்தரிப்போம்.

ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளிலிருந்து, ஒருங்கிணைப்பின் பகுதியைக் கட்டுப்படுத்தும் கோடுகளைக் காண்கிறோம்: ,
,
,
. ஒருங்கிணைப்பு வரிசையை மாற்ற, நாங்கள் வெளிப்படுத்துகிறோம் செயல்பாடுகளாக மற்றும் வெட்டும் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்:

,
,
.

ஒரு இடைவெளியில் இருந்து செயல்பாடு இரண்டு பகுப்பாய்வு வெளிப்பாடுகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு பகுதி இரண்டு பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட வேண்டும், மேலும் மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைவு இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக வழங்கப்பட வேண்டும்.

.